Esboce o gráfico das elipses:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
Perguntas implícitas que vamos responder para construir o esboço:
- Qual é o centro da elipse?
- Qual é o semi-eixo maior
e o semi-eixo menor ? - Onde estão os vértices e as co-vértices?
- Onde estão os focos (foci) e qual é a excentricidade
? - Quais pontos adicionais úteis podemos calcular para desenhar uma curva precisa?
Vou listar todas as informações numéricas que temos e que vamos usar no esboço.
Passo 2
Identificar a forma canônica e os semi-eixos. A equação está na forma padrão de uma elipse centrada na origem, alinhada com os eixos:
Comparando com a equação dada, obtemos
Portanto os semi-eixos são
Observação importante: como
, o eixo maior está no sentido dos
(horizontal).
Passo 3
Centro, vértices e co-vértices (pontos onde a elipse corta os eixos coordenados).
- Centro:
. - Vértices (extremos do eixo maior, ao longo do eixo
):
- Co-vértices (extremos do eixo menor, ao longo do eixo
):
Esses quatro pontos são essenciais para o esboço: a elipse passa por eles.
Passo 4
Calcular os focos e a excentricidade. Para uma elipse com eixo maior no
-axis vale
Substituindo:
Os focos estão em
A excentricidade é
Interpretação intuitiva:
mede o “achatamento” — quanto mais próximo de
, mais alongada; aqui
indica uma elipse moderadamente alongada.
Passo 5
Forma paramétrica (útil para pontos intermediários): uma parametrização conveniente é
Isto gera a elipse ao variar
. Vamos calcular alguns pontos-chave usando essa parametrização para orientar o desenho.
Passo 6
Calcular pontos para
(são os vértices já vistos):
-
: . -
: . -
: . -
: .
Passo 7
Calcular pontos intermediários úteis para dar forma correta ao esboço (mostrar como encontrar outros pontos da curva sem calculadora avançada).
Usar ,
e
.
Usar
Para
:
Ponto: aproximadamente
.
Para
:
Ponto: aproximadamente
.
Para
:
Ponto: aproximadamente
.
Esses pontos ajudam a traçar a curva corretamente entre os vértices.
Passo 8
Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça à mão livre seguindo essas etapas; é o truque que se usa na prova):
- Desenhe os eixos cartesianos
e e marque a escala (por exemplo, cada quadradinho = unidade). - Marque o centro em
. - Marque os vértices
e as co-vértices . - Trace o retângulo de cantos
. A elipse fica inscrita nesse retângulo (ajuda visual): os lados do retângulo são as retas e . - Marque os focos em
(opcional, mas informativo). - Plote os pontos intermediários calculados em
Passo 9
- Desenhe uma curva suave e oval que passe pelos vértices e pelos pontos intermediários, respeitando a simetria em relação aos eixos
e . A curva deve tocar os lados do retângulo nos pontos e e ser simétrica.
Dica prática: comece desenhando um quarto da elipse (no primeiro quadrante) usando os pontos calculados e depois copie esse traço por simetria para os outros quadrantes.
Passo 10
Resumo das características importantes (para checar no final):
- Centro:
. - Semi-eixos:
(horizontal), (vertical). - Vértices:
. - Co-vértices:
. - Focos:
. - Excentricidade:
. - Parametrização:
.
Passo 11
Um exemplo rápido de verificação: se você pegar o ponto
(próximo a
que calculamos), basta substituir na equação para ver se está perto da curva:
que é menor que
, indicando que esse ponto está dentro da elipse; já o ponto
dá exatamente
. Isso ajuda a confirmar que o traço está na região correta.
Resposta
Centro:
Semi-eixos: (horizontal),
(vertical)
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Semi-eixos:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade: