Esboce o gráfico das elipses:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da elipse dada pela equação
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1.
Perguntas implícitas que vamos responder para construir o esboço:
  • Qual é o centro da elipse?
  • Qual é o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b?
  • Onde estão os vértices e as co-vértices?
  • Onde estão os focos (foci) e qual é a excentricidade e?
  • Quais pontos adicionais úteis podemos calcular para desenhar uma curva precisa?
    Vou listar todas as informações numéricas que temos e que vamos usar no esboço.

Passo 2

Identificar a forma canônica e os semi-eixos. A equação está na forma padrão de uma elipse centrada na origem, alinhada com os eixos:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Comparando com a equação dada, obtemos
a^{2}=16,\qquad b^{2}=9.
Portanto os semi-eixos são
a=\sqrt{16}=4,\qquad b=\sqrt{9}=3.
Observação importante: como a>b, o eixo maior está no sentido dos x (horizontal).

Passo 3

Centro, vértices e co-vértices (pontos onde a elipse corta os eixos coordenados).
  • Centro: (0,0).
  • Vértices (extremos do eixo maior, ao longo do eixo x):
( \pm a,0)=(\pm 4,0).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor, ao longo do eixo y):
(0,\pm b)=(0,\pm 3).
Esses quatro pontos são essenciais para o esboço: a elipse passa por eles.

Passo 4

Calcular os focos e a excentricidade. Para uma elipse com eixo maior no x-axis vale
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}.
Substituindo:
c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2,646.
Os focos estão em
(\pm c,0)=\big(\pm \sqrt{7},0\big)\approx(\pm 2,646,\,0).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,661.
Interpretação intuitiva: e mede o “achatamento” — quanto mais próximo de 1, mais alongada; aqui e\approx0,66 indica uma elipse moderadamente alongada.

Passo 5

Forma paramétrica (útil para pontos intermediários): uma parametrização conveniente é
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Isto gera a elipse ao variar t. Vamos calcular alguns pontos-chave usando essa parametrização para orientar o desenho.

Passo 6

Calcular pontos para t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2} (são os vértices já vistos):
  • t=0: (x,y)=(4,0).
  • t=\tfrac{\pi}{2}: (x,y)=(0,3).
  • t=\pi: (x,y)=(-4,0).
  • t=\tfrac{3\pi}{2}: (x,y)=(0,-3).

Passo 7

Calcular pontos intermediários úteis para dar forma correta ao esboço (mostrar como encontrar outros pontos da curva sem calculadora avançada).
Usar t=\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{6} e \tfrac{\pi}{3}.
Para t=\tfrac{\pi}{4}:
x=a\cos\frac{\pi}{4}=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx 2,828,
y=b\sin\frac{\pi}{4}=3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2,121.
Ponto: aproximadamente (2,828,\,2,121).
Para t=\tfrac{\pi}{6}:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},
x=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx 3,464,
y=3\cdot\frac{1}{2}=1,5.
Ponto: aproximadamente (3,464,\,1,5).
Para t=\tfrac{\pi}{3}:
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
x=4\cdot\frac{1}{2}=2,
y=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 2,598.
Ponto: aproximadamente (2,\,2,598).
Esses pontos ajudam a traçar a curva corretamente entre os vértices.

Passo 8

Instruções passo a passo para desenhar o esboço (faça à mão livre seguindo essas etapas; é o truque que se usa na prova):
  1. Desenhe os eixos cartesianos x e y e marque a escala (por exemplo, cada quadradinho = 1 unidade).
  2. Marque o centro em (0,0).
  3. Marque os vértices (\pm 4,0) e as co-vértices (0,\pm 3).
  4. Trace o retângulo de cantos (\pm 4,\pm 3). A elipse fica inscrita nesse retângulo (ajuda visual): os lados do retângulo são as retas x=\pm 4 e y=\pm 3.
  5. Marque os focos em (\pm \sqrt{7},0)\approx(\pm 2,646,0) (opcional, mas informativo).
  6. Plote os pontos intermediários calculados em

Passo 9

  1. Desenhe uma curva suave e oval que passe pelos vértices e pelos pontos intermediários, respeitando a simetria em relação aos eixos x e y. A curva deve tocar os lados do retângulo nos pontos (\pm4,0) e (0,\pm3) e ser simétrica.
    Dica prática: comece desenhando um quarto da elipse (no primeiro quadrante) usando os pontos calculados e depois copie esse traço por simetria para os outros quadrantes.

Passo 10

Resumo das características importantes (para checar no final):
  • Centro: (0,0).
  • Semi-eixos: a=4 (horizontal), b=3 (vertical).
  • Vértices: (\pm 4,0).
  • Co-vértices: (0,\pm 3).
  • Focos: \big(\pm \sqrt{7},0\big)\approx(\pm 2,646,0).
  • Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,661.
  • Parametrização: x=4\cos t,\; y=3\sin t.

Passo 11

Um exemplo rápido de verificação: se você pegar o ponto (3,\,1,5) (próximo a (3,464,1,5) que calculamos), basta substituir na equação para ver se está perto da curva:
\frac{3^{2}}{16}+\frac{1{,}5^{2}}{9}=\frac{9}{16}+\frac{2{,}25}{9}\approx 0{,}5625+0{,}25=0{,}8125,
que é menor que 1, indicando que esse ponto está dentro da elipse; já o ponto (4,0) dá exatamente 1. Isso ajuda a confirmar que o traço está na região correta.

Resposta

Centro: (0,0)
Semi-eixos: a=4 (horizontal), b=3 (vertical)
Vértices: (\pm 4,0)
Co-vértices: (0,\pm 3)
Focos: \big(\pm \sqrt{7},0\big)\approx(\pm 2,646,0)
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\approx 0,661

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