Q4: 0 conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que -3 x_{2}+x_{4}=-2 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -5\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -5\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ -8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ -8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre as alternativas (A)–(H), qual delas representa o conjunto de todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^4 tais que
-3x_{2}+x_{4}=-2.
Informações relevantes que recebemos:
  • A equação que define o conjunto: -3x_{2}+x_{4}=-2.
  • Cada alternativa dá um vetor particular p (o termo fora do span) e três vetores que geram um subespaço (o span).
    A tarefa é verificar qual alternativa descreve exatamente o conjunto solução da equação.

Passo 2

Estratégia (fórmula e ideia que vamos usar). Vamos usar esta ideia simples e poderosa:
  • Um conjunto definido por uma equação afim como -3x_{2}+x_{4}=-2 é um conjunto afim: é um vetor particular p mais o espaço das soluções homogêneas da equação -3x_{2}+x_{4}=0.
  • Portanto, para que uma alternativa p+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} represente o conjunto, é necessário e suficiente que:
    1. O vetor particular p satisfaça a equação afim: -3p_{2}+p_{4}=-2.
    2. Cada vetor de direção v_i satisfaça a equação homogênea: -3(v_i)_{2}+(v_i)_{4}=0. Isso garante que ao somar combinações lineares de v_i a p a equação continua valendo -2.
    3. Os vetores v_1,v_2,v_3 gerem todo o espaço das soluções homogêneas (esse espaço tem dimensão 3, pois há uma equação linear entre 4 incógnitas). Assim precisamos que \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} tenha dimensão 3 e esteja contido nas soluções homogêneas; então será exatamente o conjunto homogêneo.
      Vou aplicar estes três testes (1,2,3) às alternativas. Antes, vamos escrever explicitamente as soluções homogêneas para orientar os cheques.

Passo 3

Caracterização das soluções homogêneas. Da equação homogênea
-3x_{2}+x_{4}=0
temos x_{4}=3x_{2}. Tomando parâmetros livres s=x_{1},\\ t=x_{2},\\ u=x_{3}, a solução geral homogênea é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\t\u\\\ 3t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto um conjunto de vetores geradores conveniente para o espaço homogêneo é
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Qualquer conjunto de três vetores que satisfaça -3(v_i)_2+(v_i)_4=0 e seja linearmente independente gera este espaço.

Passo 4

Verificação da alternativa (A).
  • Vetor particular p=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 3\\\ -5\end{pmatrix}. Calcular
-3p_{2}+p_{4} = -3\cdot(-1)+(-5)=3-5=-2,
logo p satisfaz a equação (teste 1 ok).
  • Vetores de direção:
    • v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 =0 (ok).
    • v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 7 + 0 = -21 \neq 0.
      Já encontramos um v_2 que não satisfaz a homogênea. Portanto (A) falha no teste 2 e não pode representar o conjunto solução.

Passo 5

Verificação da alternativa (B).
  • p=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 3\\\ -5\end{pmatrix} já sabemos que satisfaz a equação (mesmo cálculo do passo anterior).
  • Vetores:
    • v_1=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 =0 (ok).
    • v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + (-1) = -1 \neq 0.
      Logo (B) falha (teste 2). Não é correta.

Passo 6

Verificação da alternativa (D).
  • p=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 1\\\ -8\end{pmatrix}. Calcular
-3p_{2}+p_{4} = -3\cdot(-2)+(-8)=6-8=-2,
então p satisfaz (teste 1 ok).
  • Vetores:
    • v_1=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 =0 (ok).
    • v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -7\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + (-7) = -7 \neq 0.
      Portanto (D) falha no teste 2.

Passo 7

Verificação da alternativa (E).
  • p=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -3\\\ 7\end{pmatrix}. Calcular
-3p_{2}+p_{4} = -3\cdot 2 + 7 = -6 + 7 = 1 \neq -2.
O vetor particular não satisfaz a equação, então (E) está errada (falha no teste 1). Não precisa checar vetores de direção.

Passo 8

Verificação da alternativa (F).
  • p=\begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 1\\\ -8\end{pmatrix} satisfaz (já visto no passo 6).
  • Vetores:
    • v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 =0 (ok).
    • v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 5 + 0 = -15 \neq 0.
      Logo (F) falha no teste 2.

Passo 9

Verificação da alternativa (G).
  • p=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -3\\\ 7\end{pmatrix} não satisfaz (já visto no passo 7), portanto (G) está errada.

Passo 10

Verificação da alternativa (H).
  • p=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}. Calcular
-3p_{2}+p_{4} = -3\cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2,
logo p satisfaz (teste 1 ok).
  • Vetores:
    • v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}: -3\cdot 3 + 1 = -9 + 1 = -8 \neq 0.
      Assim (H) falha no teste 2.

Passo 11

Verificação da alternativa (C) — verificação completa e independente.
  • Vetor particular p=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix}. Calcular
-3p_{2}+p_{4} = -3\cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2,
portanto p satisfaz a equação (teste 1 ok).
  • Vetores de direção:
    • v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}: -3\cdot 1 + 3 = -3 + 3 = 0.
    • v_2=\begin{pmatrix}6\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 = 0.
    • v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -6\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 = 0.
      Todos os três satisfazem a equação homogênea (teste 2 ok).
  • Agora checar que os três vetores são linearmente independentes (para garantir dimensão 3). Suponha
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = 0.
Isso dá componente a componente:
  • componente 1: 6\beta = 0 \Rightarrow \beta=0,
  • componente 2: \alpha = 0,
  • componente 3: -6\gamma = 0 \Rightarrow \gamma=0.
    Logo \alpha=\beta=\gamma=0: são linearmente independentes, span de dimensão 3 (teste 3 ok).
  • Conclusão: p está na solução afim, as direções geram exatamente o espaço homogêneo de dimensão 3, logo a alternativa (C) descreve exatamente o conjunto solução.

Resposta

(C)

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