O enunciado pede: dentre as alternativas (A)–(H), qual delas representa o conjunto de todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^4 tais que
-3x_{2}+x_{4}=-2.
Informações relevantes que recebemos:
A equação que define o conjunto: -3x_{2}+x_{4}=-2.
Cada alternativa dá um vetor particular p (o termo fora do span) e três vetores que geram um subespaço (o span).
A tarefa é verificar qual alternativa descreve exatamente o conjunto solução da equação.
Passo 2
Estratégia (fórmula e ideia que vamos usar). Vamos usar esta ideia simples e poderosa:
Um conjunto definido por uma equação afim como -3x_{2}+x_{4}=-2 é um conjunto afim: é um vetor particular p mais o espaço das soluções homogêneas da equação -3x_{2}+x_{4}=0.
Portanto, para que uma alternativa p+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} represente o conjunto, é necessário e suficiente que:
O vetor particular p satisfaça a equação afim: -3p_{2}+p_{4}=-2.
Cada vetor de direção v_i satisfaça a equação homogênea: -3(v_i)_{2}+(v_i)_{4}=0. Isso garante que ao somar combinações lineares de v_i a p a equação continua valendo -2.
Os vetores v_1,v_2,v_3 gerem todo o espaço das soluções homogêneas (esse espaço tem dimensão 3, pois há uma equação linear entre 4 incógnitas). Assim precisamos que \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} tenha dimensão 3 e esteja contido nas soluções homogêneas; então será exatamente o conjunto homogêneo.
Vou aplicar estes três testes (1,2,3) às alternativas. Antes, vamos escrever explicitamente as soluções homogêneas para orientar os cheques.
Passo 3
Caracterização das soluções homogêneas. Da equação homogênea
-3x_{2}+x_{4}=0
temos x_{4}=3x_{2}. Tomando parâmetros livres s=x_{1},\\ t=x_{2},\\ u=x_{3}, a solução geral homogênea é
Portanto um conjunto de vetores geradores conveniente para o espaço homogêneo é \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
Qualquer conjunto de três vetores que satisfaça -3(v_i)_2+(v_i)_4=0 e seja linearmente independente gera este espaço.
v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 7 + 0 = -21 \neq 0.
Já encontramos um v_2 que não satisfaz a homogênea. Portanto (A) falha no teste 2 e não pode representar o conjunto solução.
Passo 5
Verificação da alternativa (B).
p=\begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 3\\\ -5\end{pmatrix} já sabemos que satisfaz a equação (mesmo cálculo do passo anterior).
v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -6\\\ 0\end{pmatrix}: -3\cdot 0 + 0 = 0.
Todos os três satisfazem a equação homogênea (teste 2 ok).
Agora checar que os três vetores são linearmente independentes (para garantir dimensão 3). Suponha
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = 0.
Isso dá componente a componente:
componente 1: 6\beta = 0 \Rightarrow \beta=0,
componente 2: \alpha = 0,
componente 3: -6\gamma = 0 \Rightarrow \gamma=0.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0: são linearmente independentes, span de dimensão 3 (teste 3 ok).
Conclusão: p está na solução afim, as direções geram exatamente o espaço homogêneo de dimensão 3, logo a alternativa (C) descreve exatamente o conjunto solução.