Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ -2 & -6 & -6 & -3 \\\\ -1 & -6 & -2 & 1 \\\\ -2 & -6 & -14 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha soluçāo:
(A) -12
(B) -11
(C) -10
(D) -9
(E) -8
(F) -7
(G) -6
(H) -5

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: o valor de k tal que o sistema linear representado pela matriz aumentada dada tenha solução (isto é, seja consistente).
  • Matriz aumentada dada (copiando os coeficientes e o termo independente):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ -2 & -6 & -6 & -3 \\\\ -1 & -6 & -2 & 1 \\\\ -2 & -6 & -14 & k \end{array}\right]
  • Opções possíveis para k: -12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5.
Observação útil para ler o resultado final: o sistema terá solução exatamente quando as relações entre as linhas (após eliminação) não produzirem uma equação impossível (como 0= \text{não‑zero}ã). Vou transformar a matriz por eliminação de Gauss e ver qual condição em k evita isso.

Passo 2

Explicando a ideia que vou usar (aula rápida): eliminação de Gauss e consistência.
  • Eliminação de Gauss: aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) para levar a matriz a uma forma triangular (escalonada). Isso facilita ver se existe contradição.
  • Consistência/compatibilidade: o sistema é consistente se e somente se a classificação (posto) da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Na prática, após escalonar, se surgir uma linha da forma \,[0\;0\;0\,|\,c] com c\neq 0, o sistema é inconsistente. Então devo evitar que isso aconteça; a condição resultante dará o k que torna c=0.
Agora começo a escalonar passo a passo, mostrando cada operação e explicando os números.

Passo 3

Usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Linha inicial por linha:
R_1=[1\;2\;2\;|\;2]
R_2=[-2\;-6\;-6\;|\;-3]
R_3=[-1\;-6\;-2\;|\;1]
R_4=[-2\;-6\;-14\;|\;k]
Operações (somar múltiplos de R_1 para zerar a primeira coluna nas linhas 2,3,4):
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Calculando cada entrada:
    • primeira coluna: -2 + 2\cdot 1 = 0.
    • segunda: -6 + 2\cdot 2 = -6 + 4 = -2.
    • terceira: -6 + 2\cdot 2 = -2.
    • termo independente: -3 + 2\cdot 2 = -3 + 4 = 1.
      Resultado: R_2=[0\;-2\;-2\;|\;1].
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1. Calculando:
    • primeira: -1 + 1 = 0.
    • segunda: -6 + 2 = -4.
    • terceira: -2 + 2 = 0.
    • termo: 1 + 2 = 3.
      Resultado: R_3=[0\;-4\;0\;|\;3].
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1. Calculando:
    • primeira: -2 + 2 = 0.
    • segunda: -6 + 4 = -2.
    • terceira: -14 + 4 = -10.
    • termo: k + 2\cdot 2 = k+4.
      Resultado: R_4=[0\;-2\;-10\;|\;k+4].
Depois dessas operações, a matriz vale:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & -2 & 1 \\\\ 0 & -4 & 0 & 3 \\\\ 0 & -2 & -10 & k+4 \end{array}\right]

Passo 4

Agora uso a segunda linha para zerar as entradas abaixo na coluna 2.
Para evitar frações desnecessárias, posso usar combinações inteiras. Observando R_2=[0\;-2\;-2\;|\;1] e R_3=[0\;-4\;0\;|\;3], faço:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculando:
    • segunda: -4 - 2(-2) = -4 +4 = 0.
    • terceira: 0 - 2(-2) = 0 +4 = 4.
    • termo: 3 - 2\cdot 1 = 3 -2 =1.
      Resultado: R_3=[0\;0\;4\;|\;1].
Para R_4=[0\;-2\;-10\;|\;k+4], faço:
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2. Calculando:
    • segunda: -2 - (-2) = -2 +2 = 0.
    • terceira: -10 - (-2) = -10 +2 = -8.
    • termo: (k+4) - 1 = k+3.
      Resultado: R_4=[0\;0\;-8\;|\;k+3].
Agora a matriz está:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -8 & k+3 \end{array}\right]

Passo 5

Continuo para a terceira coluna: uso R_3 como pivô para eliminar a entrada em R_4.
Primeiro, é conveniente tornar o pivô em R_3 igual a 1 dividindo por 4 (isso é permitido e facilita a visualização):
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{4}R_3. Então R_3 = [0\;0\;1\;|\;1/4].
Agora elimino a terceira entrada de R_4=[0\;0\;-8\;|\;k+3] usando R_3:
  • R_4 \leftarrow R_4 + 8R_3. Calculando:
    • terceira: -8 + 8\cdot 1 = 0.
    • termo independente: (k+3) + 8\cdot \tfrac{1}{4} = k+3 + 2 = k+5.
      Resultado: R_4=[0\;0\;0\;|\;k+5].
A matriz agora está em forma escalonada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & -2 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1/4 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+5 \end{array}\right]

Passo 6

Interpretação final e condição para consistência (aula curta sobre isso):
  • A última linha representa a equação 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = k+5,ou seja \;0 = k+5.
  • Para que a equação não seja uma contradição (como 0 = número diferente de zero), precisamos que k+5=0.
  • Portanto a condição para o sistema ser consistente (ter solução) é k + 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -5.
Se k \neq -5, então surge uma linha [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, o que significa sistema impossível (inconsistente). Se k=-5, não há contradição e o sistema tem solução (de fato terá infinitas ou uma única dependendo do posto; aqui o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao posto da aumentada quando k=-5, então existe solução e é única — mas o enunciado só pede existência).

Resposta

(H) -5

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