Opções possíveis para k: -12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5.
Observação útil para ler o resultado final: o sistema terá solução exatamente quando as relações entre as linhas (após eliminação) não produzirem uma equação impossível (como 0= \text{não‑zero}ã‑). Vou transformar a matriz por eliminação de Gauss e ver qual condição em k evita isso.
Passo 2
Explicando a ideia que vou usar (aula rápida): eliminação de Gauss e consistência.
Eliminação de Gauss: aplicar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) para levar a matriz a uma forma triangular (escalonada). Isso facilita ver se existe contradição.
Consistência/compatibilidade: o sistema é consistente se e somente se a classificação (posto) da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Na prática, após escalonar, se surgir uma linha da forma \,[0\;0\;0\,|\,c] com c\neq 0, o sistema é inconsistente. Então devo evitar que isso aconteça; a condição resultante dará o k que torna c=0.
Agora começo a escalonar passo a passo, mostrando cada operação e explicando os números.
Passo 3
Usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Linha inicial por linha:
R_1=[1\;2\;2\;|\;2]
R_2=[-2\;-6\;-6\;|\;-3]
R_3=[-1\;-6\;-2\;|\;1]
R_4=[-2\;-6\;-14\;|\;k]
Operações (somar múltiplos de R_1 para zerar a primeira coluna nas linhas 2,3,4):
R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1. Calculando cada entrada:
Interpretação final e condição para consistência (aula curta sobre isso):
A última linha representa a equação0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = k+5,ou seja \;0 = k+5.
Para que a equação não seja uma contradição (como 0 = número diferente de zero), precisamos que k+5=0.
Portanto a condição para o sistema ser consistente (ter solução) ék + 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -5.
Se k \neq -5, então surge uma linha [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, o que significa sistema impossível (inconsistente). Se k=-5, não há contradição e o sistema tem solução (de fato terá infinitas ou uma única dependendo do posto; aqui o posto da matriz de coeficientes é 3, igual ao posto da aumentada quando k=-5, então existe solução e é única — mas o enunciado só pede existência).