Esboce um gráfico da energia eletrônica em função da distância internuclear para uma molécula diatômica e identifique a distância de equilíbrio e a energia de dissociação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar o gráfico da energia eletrônica em função da distância internuclear para uma molécula diatômica; (ii) identificar a distância de equilíbrio e a energia de dissociação a partir desse gráfico.
Informações dadas: nenhuma numérica — a tarefa é qualitativa/analítica. O que se espera é entender a forma típica da curva e como extrair e
dela.
Informações dadas: nenhuma numérica — a tarefa é qualitativa/analítica. O que se espera é entender a forma típica da curva e como extrair
Passo 2
Descrevendo qualitativamente a forma do gráfico (a “cara” que a curva tem): desenhe o eixo horizontal como a distância internuclear
(da direita para a esquerda: grandes distâncias à direita) e o eixo vertical como a energia eletrônica
. A curva típica tem três regiões:
- Para
muito pequeno (núcleos muito próximos): energia cresce muito rápido (parede repulsiva forte) devido à sobreposição de elétrons e repulsão coulombiana dos núcleos — isto é uma subida quase vertical à esquerda. - Para
intermediário: aparece um poço de energia (um mínimo) onde a energia é mais baixa — ali fica o comprimento de ligação estável. - Para
grande: energia tende a um valor assintótico correspondente a átomos separados; normalmente escolhe-se a referência . A curva aproxima-se horizontalmente de pela direita (decai para zero).
Passo 3
Como marcar no esboço as duas quantidades pedidas:
- Distância de equilíbrio
: é o valor de correspondente ao mínimo do poço (o ponto onde a curva alcança o menor valor). No desenho, marque a projeção do mínimo sobre o eixo e rotule como . - Energia de dissociação
: é a energia necessária para levar a molécula do estado ligado (no mínimo) até átomos separados. Definição prática:
Se escolher
, então
ou seja, a profundidade do poço medida em relação à linha horizontal
. No esboço, trace uma linha horizontal em
(assintota) e desenhe a distância vertical entre essa linha e o mínimo; essa distância é
.
Passo 4
Um exemplo analítico útil — potencial de Morse — para ver as coisas com fórmula e derivada (isso ajuda a saber como achar
se tiver dados numéricos). Escrevendo a forma usual com a assintota em zero:
Explicando cada símbolo:
-
é a distância internuclear variável; -
é a posição do mínimo (distância de equilíbrio); -
é a energia de dissociação (profundidade do poço); -
controla quão “estreito” é o poço (constante relacionada à rigidez da ligação).
Verifique limites:e , consistente com a definição.
Passo 5
Como encontrar
analiticamente no exemplo de Morse (procedimento que serve para qualquer curva): calcular a derivada e achar onde ela se anula. Para o Morse, ponha
. Então
e
Como
, obtém-se
A condição
dá
. Logo
é o único mínimo físico da curva (exceto condicionais matemáticas irrelevantes). Esse é o passo padrão: derivada nula → candidato a mínimo; checar segunda derivada positiva confirma mínimo.
Passo 6
Outro exemplo muito usado — Lennard–Jones — reforça a ideia e mostra como extrair
e a profundidade pela conta:
Derivando e anulando obtém-se a condição do mínimo
Para essa forma a profundidade do poço é
. Ou seja,
e
(se a assintota foi colocada em zero). Esses exemplos mostram que, com uma expressão matemática, a distância de equilíbrio sai da condição de derivada nula; a energia de dissociação é a diferença entre assíntota e valor mínimo.
Passo 7
Instruções práticas para esboçar à mão (passo a passo):
- Desenhe e rotule os eixos: horizontal
, vertical . - Trace uma linha horizontal à direita marcando
(energia de átomos separados). - À esquerda do gráfico desenhe uma parede muito íngreme (repulsão).
- À direita da parede desenhe um “poço” suave com um mínimo em algum
e depois faça a curva subir e assentar-se em para grandes . - Marque verticalmente entre
e o mínimo a quantidade . Marque horizontalmente a posição do mínimo como .
Dica de prova: se pedirem explicar em palavras, diga “é o do mínimo de e é a profundidade do poço relativa aos átomos separados”.
Passo 8
Se você tiver apenas pontos numéricos (valores de energia calculados para várias
):
- Localize o menor valor de
nos pontos; faça um ajuste quadrático (parabólico) usando 3 pontos próximos ao mínimo para obter com maior precisão (ajuste por mínimos quadráticos ou ajustar a forma de Morse localmente). - Calcule
como diferença entre o maior assintótico observado (ou o valor teórico ) e .
Pequeno truque: perto do mínimo a energia se aproxima de uma parábola:
onde
é a constante de força; isso ajuda a refinar
e estimar vibrações.
Passo 9
Resumo prático e palavras de incentivo: no desenho a distância de equilíbrio é simplesmente a abscissa do mínimo e a energia de dissociação é a profundidade do poço medida até a linha de energia dos átomos separados. Na prova, desenhe a curva com os rótulos
e
, explique que
satisfaz
e que
. Você já tem o essencial para impressionar o examinador — bora praticar uns esboços rápidos!
Resposta
Distância de equilíbrio:
(posição do mínimo da curva
).
Energia de dissociação: ; se
então
.
Energia de dissociação: