Esboce um gráfico da energia eletrônica em função da distância internuclear para uma molécula diatômica e identifique a distância de equilíbrio e a energia de dissociação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) esboçar o gráfico da energia eletrônica em função da distância internuclear para uma molécula diatômica; (ii) identificar a distância de equilíbrio e a energia de dissociação a partir desse gráfico.
Informações dadas: nenhuma numérica — a tarefa é qualitativa/analítica. O que se espera é entender a forma típica da curva e como extrair R_e e D_e dela.

Passo 2

Descrevendo qualitativamente a forma do gráfico (a “cara” que a curva tem): desenhe o eixo horizontal como a distância internuclear R (da direita para a esquerda: grandes distâncias à direita) e o eixo vertical como a energia eletrônica E(R). A curva típica tem três regiões:
  • Para R muito pequeno (núcleos muito próximos): energia cresce muito rápido (parede repulsiva forte) devido à sobreposição de elétrons e repulsão coulombiana dos núcleos — isto é uma subida quase vertical à esquerda.
  • Para R intermediário: aparece um poço de energia (um mínimo) onde a energia é mais baixa — ali fica o comprimento de ligação estável.
  • Para R grande: energia tende a um valor assintótico correspondente a átomos separados; normalmente escolhe-se a referência E(\infty)=0. A curva aproxima-se horizontalmente de 0 pela direita (decai para zero).

Passo 3

Como marcar no esboço as duas quantidades pedidas:
  • Distância de equilíbrio R_e: é o valor de R correspondente ao mínimo do poço (o ponto onde a curva alcança o menor valor). No desenho, marque a projeção do mínimo sobre o eixo R e rotule como R_e.
  • Energia de dissociação D_e: é a energia necessária para levar a molécula do estado ligado (no mínimo) até átomos separados. Definição prática:
D_e = E(\infty) - E(R_e).
Se escolher E(\infty)=0, então
D_e = -E(R_e),
ou seja, a profundidade do poço medida em relação à linha horizontal E=0. No esboço, trace uma linha horizontal em E=0 (assintota) e desenhe a distância vertical entre essa linha e o mínimo; essa distância é D_e.

Passo 4

Um exemplo analítico útil — potencial de Morse — para ver as coisas com fórmula e derivada (isso ajuda a saber como achar R_e se tiver dados numéricos). Escrevendo a forma usual com a assintota em zero:
V(R)=D_e\bigl(1-e^{-a(R-R_e)}\bigr)^2 - D_e.
Explicando cada símbolo:
  • R é a distância internuclear variável;
  • R_e é a posição do mínimo (distância de equilíbrio);
  • D_e é a energia de dissociação (profundidade do poço);
  • a controla quão “estreito” é o poço (constante relacionada à rigidez da ligação).
    Verifique limites: \displaystyle \lim_{R\to\infty}V(R)=0 e V(R_e)=-D_e, consistente com a definição.

Passo 5

Como encontrar R_e analiticamente no exemplo de Morse (procedimento que serve para qualquer curva): calcular a derivada e achar onde ela se anula. Para o Morse, ponha u(R)=1-e^{-a(R-R_e)}. Então V(R)=D_e u^2 - D_e e
\frac{dV}{dR}=2D_e\,u(R)\,\frac{du}{dR}.
Como \displaystyle \frac{du}{dR}=a e^{-a(R-R_e)}, obtém-se
\frac{dV}{dR}=2aD_e\bigl(1-e^{-a(R-R_e)}\bigr)e^{-a(R-R_e)}.
A condição \dfrac{dV}{dR}=0 \,1-e^{-a(R-R_e)}=0\Rightarrow R=R_e. Logo R_e é o único mínimo físico da curva (exceto condicionais matemáticas irrelevantes). Esse é o passo padrão: derivada nula → candidato a mínimo; checar segunda derivada positiva confirma mínimo.

Passo 6

Outro exemplo muito usado — Lennard–Jones — reforça a ideia e mostra como extrair R_e e a profundidade pela conta:
V(R)=4\epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{R}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{R}\right)^6\right].
Derivando e anulando obtém-se a condição do mínimo
\frac{dV}{dR}=0 \;\Rightarrow\; R_{min}=2^{1/6}\sigma.
Para essa forma a profundidade do poço é V(R_{min})=-\epsilon. Ou seja, R_e=R_{min}=2^{1/6}\sigma e D_e=\epsilon (se a assintota foi colocada em zero). Esses exemplos mostram que, com uma expressão matemática, a distância de equilíbrio sai da condição de derivada nula; a energia de dissociação é a diferença entre assíntota e valor mínimo.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar à mão (passo a passo):
  1. Desenhe e rotule os eixos: horizontal R, vertical E(R).
  2. Trace uma linha horizontal à direita marcando E=0 (energia de átomos separados).
  3. À esquerda do gráfico desenhe uma parede muito íngreme (repulsão).
  4. À direita da parede desenhe um “poço” suave com um mínimo em algum R_e e depois faça a curva subir e assentar-se em E=0 para grandes R.
  5. Marque verticalmente entre E=0 e o mínimo a quantidade D_e. Marque horizontalmente a posição do mínimo como R_e.
    Dica de prova: se pedirem explicar em palavras, diga “ R_e é o R do mínimo de E(R) e D_e é a profundidade do poço relativa aos átomos separados”.

Passo 8

Se você tiver apenas pontos numéricos (valores de energia calculados para várias R):
  • Localize o menor valor de E(R) nos pontos; faça um ajuste quadrático (parabólico) usando 3 pontos próximos ao mínimo para obter R_e com maior precisão (ajuste por mínimos quadráticos ou ajustar a forma de Morse localmente).
  • Calcule D_e como diferença entre o maior E(R) assintótico observado (ou o valor teórico E(\infty)) e E(R_e).
    Pequeno truque: perto do mínimo a energia se aproxima de uma parábola:
V(R)\approx V(R_e)+\tfrac{1}{2}k(R-R_e)^2,
onde k=V''(R_e) é a constante de força; isso ajuda a refinar R_e e estimar vibrações.

Passo 9

Resumo prático e palavras de incentivo: no desenho a distância de equilíbrio é simplesmente a abscissa do mínimo e a energia de dissociação é a profundidade do poço medida até a linha de energia dos átomos separados. Na prova, desenhe a curva com os rótulos R_e e D_e, explique que R_e satisfaz \dfrac{dE}{dR}=0 e que D_e=E(\infty)-E(R_e). Você já tem o essencial para impressionar o examinador — bora praticar uns esboços rápidos!

Resposta

Distância de equilíbrio: R_e (posição do mínimo da curva E(R)).
Energia de dissociação: D_e = E(\infty) - E(R_e); se E(\infty)=0 então D_e = -E(R_e).

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