Qual a função de onda do estado de mais baixa energia do \mathrm{H}_{2} baseada na teoria da ligação de valência? Qual o estado de spin deste sistema de dois elétrons?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. A função de onda do estado de mais baixa energia do \mathrm{H}_2 segundo a teoria da ligação de valência.
    2. O estado de spin (ou seja, se é singlete, triplete, etc.) desse sistema de dois elétrons.
  • Informação implícita e notação que usarei:
    • Há dois átomos de hidrogênio, chamados A e B, cada um com um orbital atômico 1s. Vou denotar esses orbitais por \phi_A (centrado no núcleo A) e \phi_B (centrado no núcleo B).
    • Os dois elétrons são indistinguíveis e obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: a função de onda total (espacial × spin) deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons.
    • Vou numerar os elétrons como 1 e 2, e escrever \phi_A(1) para o orbital \phi_A avaliado nas coordenadas do elétron 1, etc.
    • Também vou usar o integral de sobreposição S=\langle \phi_A | \phi_B\rangle, que mede a sobreposição entre os orbitais atômicos.

Passo 2

Explicando os orbitais atômicos e a ideia básica da ligação de valência (sem usar jargões só): cada átomo de H tem um elétron em um orbital \varphi do tipo 1s. Quando os dois átomos se aproximam, os dois elétrons podem “compartilhar” a região entre núcleos, formando a ligação. Na teoria da ligação de valência (modelo de Heitler–London), a função de onda espacial do estado ligado é construída combinando os produtos das funções atômicas de forma a descrever ambos os elétrons associados aos dois núcleos.
  • Produtos eletrônicos possíveis (sem normalizar):
    • Estrutura covalente 1: \phi_A(1)\,\phi_B(2) — elétron 1 no átomo A, elétron 2 no átomo B.
    • Estrutura covalente 2: \phi_B(1)\,\phi_A(2) — a permutação dos papéis dos elétrons.
      Essas duas estruturas covalentes são fisicamente equivalentes e devem ser combinadas para formar estados com boas propriedades de simetria.

Passo 3

Princípio de Pauli e simetria do estado total — por que isso importa.
  • Elétrons são férmions: a função de onda total \Psi_{\text{total}}(1,2) deve trocar de sinal quando permutamos os rótulos 1\leftrightarrow2.
  • A função total se separa em parte espacial \Psi_{\text{esp}}(1,2) e parte de spin \chi(1,2): \Psi_{\text{total}}(1,2)=\Psi_{\text{esp}}(1,2)\,\chi(1,2).
  • Para a troca 1\leftrightarrow2, se \Psi_{\text{esp}} for simétrica, então \chi precisa ser antissimétrica; se \Psi_{\text{esp}} for antissimétrica, \chi precisa ser simétrica.
  • Estados de spin possíveis para dois spins 1/2:
    • Singlete (antissimétrico): \chi_{\text{sing}}(1,2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\big). Aqui \alpha e \beta são as funções de spin “up” e “down”.
    • Três estados do triplete (simétricos): \alpha\alpha, \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta+\beta\alpha), \beta\beta.

Passo 4

Construção da combinação espacial de Heitler–London (a combinação covalente) e normalização.
  • A combinação espacial que descreve ambos os elétrons sendo indistintamente associados aos dois núcleos, e que tem a simetria correta para formar ligação, é a soma simétrica das duas estruturas covalentes: \Phi_c(1,2)=\phi_A(1)\phi_B(2)+\phi_B(1)\phi_A(2).
  • Precisamos normalizar essa função. Se os orbitais \phi_A e \phi_B são normalizados individualmente e têm sobreposição S=\langle\phi_A|\phi_B\rangle, então os produtos têm produto interno: \langle \phi_A(1)\phi_B(2)\,|\,\phi_B(1)\phi_A(2)\rangle = S^2.Porque a integral separa em \langle\phi_A|\phi_B\rangle\langle\phi_B|\phi_A\rangle = S\cdot S = S^2.
  • O quadrado da norma de \Phi_c é então \langle\Phi_c|\Phi_c\rangle = 2 + 2S^2 = 2(1+S^2).
  • Assim, o fator de normalização para a combinação simétrica é N=\frac{1}{\sqrt{2(1+S^2)}}.
  • A função espacial normalizada covalente (Heitler–London) fica: \Psi_{\text{esp}}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2(1+S^2)}}\Big(\phi_A(1)\phi_B(2)+\phi_B(1)\phi_A(2)\Big).

Passo 5

Construção da parte de spin e justificativa da escolha singlete.
  • Como vimos no Passo 3, se a parte espacial é simétrica (o que é o caso da \Psi_{\text{esp}} construída acima: ela não muda ao trocar 1\leftrightarrow2), então a parte de spin deve ser antissimétrica para garantir que a função total seja antissimétrica.
  • A parte de spin antissimétrica para dois elétrons é o singlete: \chi_{\text{sing}}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\big).
  • Portanto a escolha de spin para o estado de mais baixa energia é o singlete (moment total S=0, multiplicidade 2S+1=1).

Passo 6

Combinação final (função total) e verificação da antissimetria.
  • A função de onda total (Heitler–London, estado covalente) para o estado mais ligado é o produto da parte espacial simétrica normalizada pela parte de spin singlete: \Psi_{\text{total}}(1,2)=\Psi_{\text{esp}}(1,2)\,\chi_{\text{sing}}(1,2).Onde \Psi_{\text{esp}}(1,2) e \chi_{\text{sing}}(1,2) são as expressões dos Passos 4 e 5.
  • Verificação rápida da condição de antissimetria:
    • Troca 1\leftrightarrow2 deixa \Psi_{\text{esp}} inalterada (simétrica).
    • Troca 1\leftrightarrow2 troca o sinal de \chi_{\text{sing}} (antissimétrica).
    • Logo \Psi_{\text{esp}}\chi_{\text{sing}} troca de sinal, satisfazendo o princípio de Pauli.

Passo 7

Por que esse estado é o de mais baixa energia (intuição física curta e útil para prova).
  • A combinação espacial simétrica aumenta a densidade eletrônica entre os dois núcleos (maior probabilidade de encontrar elétrons na região entre núcleos), o que favorece a atração elétron-núcleo e reduz a energia: é a origem qualitativa da ligação covalente.
  • O estado triplete correspondente (com parte espacial antissimétrica proporcional a \phi_A(1)\phi_B(2)-\phi_B(1)\phi_A(2)) tem nó espacial na região de sobreposição e, portanto, menor densidade entre núcleos — resulta em energia mais alta (não ligado ou menos ligado).
  • Observação adicional (opcional para a prova): modelos de ligação de valência mais completos incluem também contribuições iônicas ( \phi_A(1)\phi_A(2) e \phi_B(1)\phi_B(2)) que, quando ressonantes com a estrutura covalente, abaixam ainda mais a energia. Mas a descrição qualitativa e o ponto chave (espacial simétrica + spin singlete) permanecem.

Resposta

\displaystyle \Psi_{\text{total}}(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2(1+S^{2})}}\big(\phi_{A}(1)\phi_{B}(2)+\phi_{B}(1)\phi_{A}(2)\big)\times\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\big)
Estado de spin: singlete ( S=0; multiplicidade 1).

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