Qual a função de onda do estado de mais baixa energia do
baseada na teoria da ligação de valência? Qual o estado de spin deste sistema de dois elétrons?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda).
-
O enunciado pede duas coisas:
- A função de onda do estado de mais baixa energia do
segundo a teoria da ligação de valência. - O estado de spin (ou seja, se é singlete, triplete, etc.) desse sistema de dois elétrons.
- A função de onda do estado de mais baixa energia do
-
Informação implícita e notação que usarei:
- Há dois átomos de hidrogênio, chamados
e , cada um com um orbital atômico . Vou denotar esses orbitais por (centrado no núcleo ) e (centrado no núcleo ). - Os dois elétrons são indistinguíveis e obedecem ao princípio de exclusão de Pauli: a função de onda total (espacial × spin) deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons.
- Vou numerar os elétrons como
e , e escrever para o orbital avaliado nas coordenadas do elétron 1, etc. - Também vou usar o integral de sobreposição
, que mede a sobreposição entre os orbitais atômicos.
- Há dois átomos de hidrogênio, chamados
Passo 2
Explicando os orbitais atômicos e a ideia básica da ligação de valência (sem usar jargões só): cada átomo de H tem um elétron em um orbital
do tipo
. Quando os dois átomos se aproximam, os dois elétrons podem “compartilhar” a região entre núcleos, formando a ligação. Na teoria da ligação de valência (modelo de Heitler–London), a função de onda espacial do estado ligado é construída combinando os produtos das funções atômicas de forma a descrever ambos os elétrons associados aos dois núcleos.
- Produtos eletrônicos possíveis (sem normalizar):
- Estrutura covalente 1:
— elétron 1 no átomo , elétron 2 no átomo . - Estrutura covalente 2:
— a permutação dos papéis dos elétrons.
Essas duas estruturas covalentes são fisicamente equivalentes e devem ser combinadas para formar estados com boas propriedades de simetria.
- Estrutura covalente 1:
Passo 3
Princípio de Pauli e simetria do estado total — por que isso importa.
- Elétrons são férmions: a função de onda total
deve trocar de sinal quando permutamos os rótulos . - A função total se separa em parte espacial
e parte de spin : - Para a troca
, se for simétrica, então precisa ser antissimétrica; se for antissimétrica, precisa ser simétrica. - Estados de spin possíveis para dois spins
: - Singlete (antissimétrico):
. Aqui e são as funções de spin “up” e “down”. - Três estados do triplete (simétricos):
, , .
- Singlete (antissimétrico):
Passo 4
Construção da combinação espacial de Heitler–London (a combinação covalente) e normalização.
- A combinação espacial que descreve ambos os elétrons sendo indistintamente associados aos dois núcleos, e que tem a simetria correta para formar ligação, é a soma simétrica das duas estruturas covalentes:
- Precisamos normalizar essa função. Se os orbitais
e são normalizados individualmente e têm sobreposição , então os produtos têm produto interno: Porque a integral separa em . - O quadrado da norma de
é então - Assim, o fator de normalização para a combinação simétrica é
- A função espacial normalizada covalente (Heitler–London) fica:
Passo 5
Construção da parte de spin e justificativa da escolha singlete.
- Como vimos no Passo 3, se a parte espacial é simétrica (o que é o caso da
construída acima: ela não muda ao trocar ), então a parte de spin deve ser antissimétrica para garantir que a função total seja antissimétrica. - A parte de spin antissimétrica para dois elétrons é o singlete:
- Portanto a escolha de spin para o estado de mais baixa energia é o singlete (moment total
, multiplicidade ).
Passo 6
Combinação final (função total) e verificação da antissimetria.
- A função de onda total (Heitler–London, estado covalente) para o estado mais ligado é o produto da parte espacial simétrica normalizada pela parte de spin singlete:
Onde e são as expressões dos Passos 4 e 5. - Verificação rápida da condição de antissimetria:
- Troca
deixa inalterada (simétrica). - Troca
troca o sinal de (antissimétrica). - Logo
troca de sinal, satisfazendo o princípio de Pauli.
- Troca
Passo 7
Por que esse estado é o de mais baixa energia (intuição física curta e útil para prova).
- A combinação espacial simétrica aumenta a densidade eletrônica entre os dois núcleos (maior probabilidade de encontrar elétrons na região entre núcleos), o que favorece a atração elétron-núcleo e reduz a energia: é a origem qualitativa da ligação covalente.
- O estado triplete correspondente (com parte espacial antissimétrica proporcional a
) tem nó espacial na região de sobreposição e, portanto, menor densidade entre núcleos — resulta em energia mais alta (não ligado ou menos ligado). - Observação adicional (opcional para a prova): modelos de ligação de valência mais completos incluem também contribuições iônicas (
e ) que, quando ressonantes com a estrutura covalente, abaixam ainda mais a energia. Mas a descrição qualitativa e o ponto chave (espacial simétrica + spin singlete) permanecem.
Resposta
Estado de spin: singlete (