Esboce o gráfico de f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, indicando domínio, imagem e assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x^2+1},
indicando domínio, imagem e assíntotas. Aqui vamos usar:
  • estudo do domínio de funções racionais,
  • cálculo de limites em \pm\infty para assíntotas horizontais ou oblíquas,
  • derivada para achar extremos e obter a imagem,
  • simetria da função para facilitar o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como o denominador x^2+1 nunca se anula (é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}), não há exclusões. Logo, \text{Domínio} = \mathbb{R}.í

Passo 3

Verificar assíntotas verticais e horizontais.
  1. Não há assíntotas verticais pois não existe x que zere x^2+1.
  2. Para x\to\pm\infty,
f(x)=\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{x+\tfrac1x}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0.
Portanto há uma assíntota horizontal em y=0.
Não surge nenhuma oblíqua, pois o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 4

Calcular a derivada para achar extremos e, assim, a imagem.
f'(x) =\frac{(x^2+1)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}.
Zerando f'(x) vem 1-x^2=0, ou seja x=\pm1.
  • Em x=1, f(1)=\tfrac12 é máximo local.
  • Em x=-1, f(-1)=-\tfrac12 é mínimo local.
    Não há outros extremos e como f(x)\to0 em \pm\infty, concluímos que
\text{Imagem} = \Bigl[-\tfrac12,\tfrac12\Bigr].

Passo 5

Esboço e simetria:
  • A função é ímpar f(-x)=-f(x), então o gráfico é simétrico em relação à origem.
  • Passa pela origem com inclinação f'(0)=1.
  • Cresce de -\infty até x=-1 alcançando -\tfrac12, depois cresce até x=0, cruza a origem, continua crescendo até x=1 alcançando \tfrac12, e decresce de 1 até +\infty aproximando-se de y=0.
  • Assíntota horizontal y=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr]
Assíntota horizontal: y=0
Sem assíntotas verticais

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