Esboce o gráfico de f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, indicando domínio, imagem e assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x^2+1},
indicando domínio, imagem e assíntotas. Aqui vamos usar:
estudo do domínio de funções racionais,
cálculo de limites em \pm\infty para assíntotas horizontais ou oblíquas,
derivada para achar extremos e obter a imagem,
simetria da função para facilitar o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio de f. Como o denominador x^2+1 nunca se anula (é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}), não há exclusões. Logo, \text{Domínio} = \mathbb{R}.
Passo 3
Verificar assíntotas verticais e horizontais.
Não há assíntotas verticais pois não existe x que zere x^2+1.
Em x=-1, f(-1)=-\tfrac12 é mínimo local.
Não há outros extremos e como f(x)\to0 em \pm\infty, concluímos que
\text{Imagem} = \Bigl[-\tfrac12,\tfrac12\Bigr].
Passo 5
Esboço e simetria:
A função é ímpar f(-x)=-f(x), então o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passa pela origem com inclinação f'(0)=1.
Cresce de -\infty até x=-1 alcançando -\tfrac12, depois cresce até x=0, cruza a origem, continua crescendo até x=1 alcançando \tfrac12, e decresce de 1 até +\infty aproximando-se de y=0.
Assíntota horizontal y=0.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr]
Assíntota horizontal: y=0
Sem assíntotas verticais