Questão 1 - Sabendo que \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, mostre que \mathcal{L}\left\{t^{-\frac{1}{2}}\right\}=\sqrt{\frac{\pi}{s}}, s>0.
Dica: Primeiro use a expressão \mathcal{L}\left\{t^{n}\right\}=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}}, depois use a definição da função gamma e calcule \Gamma\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de t^{-1/2} é
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\sqrt{\frac{\pi}{s}},\quad s>0.
Para isso vamos usar a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}=\Gamma(n+1)/s^{n+1} e calcular \Gamma(1/2).

Passo 2

Recordando a fórmula de Laplace para potências, temos
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}},
válida para n>-1 e s>0.

Passo 3

Tomando n=-\tfrac12 na fórmula acima, vem
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\frac{\Gamma\bigl(-\tfrac12+1\bigr)}{s^{-1/2+1}} =\frac{\Gamma(1/2)}{s^{1/2}}.
Agora só falta determinar \Gamma(1/2).

Passo 4

Pela definição da função Gama,
\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{\infty}t^{-1/2}e^{-t}\,dt.
Fazendo a mudança de variável t=x^{2}, temos dt=2x\,dx e t^{-1/2}=1/x. Logo,
\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-x^{2}}\cdot2x\,dx =2\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx =2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2} =\sqrt{\pi}.

Passo 5

Substituindo \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} em \mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\Gamma(1/2)/s^{1/2}, obtemos
\mathcal{L}\{t^{-1/2}\} =\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} =\sqrt{\frac{\pi}{s}},
para s>0.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{s}}

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