Esboce o gráfico de
e indique seu domínio, sua concavidade e imagem.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da função
e que a gente indique o domínio, a imagem (ou alcance) e onde ela é côncava.
Passo 2
Para achar o domínio, lembramos que o argumento do logaritmo deve ser positivo:
Como
para todo
, temos
.
Logo, o domínio é
Logo, o domínio é
Passo 3
Para ver a imagem, observamos que
varia de
(em
) até
(quando
). Como a função
é crescente,
Logo, a imagem é
Passo 4
Para descobrir monotonia e mínimo, calculamos a derivada primeira:
Como
, o sinal de
é o mesmo de
: decrescente em
e crescente em
. Assim, há um mínimo global em
, com
.
Passo 5
Para concavidade, vamos à derivada segunda:
O fator
é sempre positivo, então o sinal de
vem de
:
– Se ,
⇒ concavidade para cima.
– Se ,
⇒ concavidade para baixo.
Nos pontos ocorre inflexão, com
.
– Se
– Se
Nos pontos
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Função par (simétrica em relação ao eixo
). - Mínimo em
. - Passa por
e , onde muda de côncava para cima para côncava para baixo. - Cresce para
quando , de forma lenta (logarítmica).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Concavidade: concava para cima em e concava para baixo em
Imagem:
Concavidade: concava para cima em