Esboce o gráfico de f(x)=\log _{2}\left(x^{2}+1\right) e indique seu domínio, sua concavidade e imagem.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da função
f(x)=\log_{2}\bigl(x^{2}+1\bigr)
e que a gente indique o domínio, a imagem (ou alcance) e onde ela é côncava.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que o argumento do logaritmo deve ser positivo:
x^{2}+1>0.
Como x^{2}\ge0 para todo x, temos x^{2}+1\ge1>0.
Logo, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Para ver a imagem, observamos que x^{2}+1 varia de 1 (em x=0) até +\infty (quando \lvert x\rvert\to\infty). Como a função t\mapsto\log_{2}t é crescente,
\min f = \log_{2}(1)=0,\quad \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Logo, a imagem é
[0,\infty).

Passo 4

Para descobrir monotonia e mínimo, calculamos a derivada primeira:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\log_{2}(x^{2}+1)\Bigr) =\frac{1}{(x^{2}+1)\ln2}\cdot 2x =\frac{2x}{(x^{2}+1)\ln2}.
Como \ln2>0, o sinal de f'(x) é o mesmo de x: decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty). Assim, há um mínimo global em x=0, com f(0)=0.

Passo 5

Para concavidade, vamos à derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2x}{(x^{2}+1)\ln2}\Bigr) =\frac{2}{\ln2}\,\frac{(x^{2}+1)-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}\,\ln2}.
O fator (x^{2}+1)^{2}\ln2 é sempre positivo, então o sinal de f''(x) vem de 1-x^{2}:
– Se \lvert x\rvert<1, 1-x^{2}>0 ⇒ concavidade para cima.
– Se \lvert x\rvert>1, 1-x^{2}<0 ⇒ concavidade para baixo.
Nos pontos x=\pm1 ocorre inflexão, com f(\pm1)=\log_{2}(2)=1.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Mínimo em (0,0).
  • Passa por (-1,1) e (1,1), onde muda de côncava para cima para côncava para baixo.
  • Cresce para +\infty quando x\to\pm\infty, de forma lenta (logarítmica).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)
Concavidade: concava para cima em (-1,1) e concava para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty)

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