Resolva a equação \left|\frac{x-1}{x+2}\right|=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|\frac{x-1}{x+2}\right| = 1
Trata-se de uma equação envolvendo valor absoluto de uma expressão racional. Antes de tudo, note que o denominador não pode ser zero, ou seja,
x \neq -2.

Passo 2

A propriedade básica do valor absoluto é
|u| = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad u = 1\quad\text{ou}\quad u = -1.
Aqui temos u = \frac{x-1}{x+2}. Vamos separar em dois casos.

Passo 3

Caso 1:
\frac{x-1}{x+2} = 1.
Multiplicando ambos os lados por (x+2) (válido pois x\neq -2):
x - 1 = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad -1 = 2,
que é uma contradição. Logo, não há solução neste caso.

Passo 4

Caso 2:
\frac{x-1}{x+2} = -1.
De novo, multiplicando por (x+2):
x - 1 = -\,\bigl(x + 2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = -x - 2 \quad\Longrightarrow\quad 2x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac12.
Esse valor não viola x\neq -2, então é solução válida.

Resposta

A única solução real é
x = -\tfrac12.

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