Esboce o gráfico da familia de funçães dada por
f_{\varepsilon}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2} e^{\frac{x}{\varepsilon}} & \text { se } x \leqslant 0 \\\\ 1-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{\varepsilon}} & \text { se } x>0 \end{array}, \text { ande } \varepsilon>0 .\right.
Prove analiticamente que \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=\theta(x). Justifique este resultado do ponto de vista grático.

Passo 1

O enunciado dá a família de funções, com \varepsilon>0\): \[f_{\varepsilon}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{\varepsilon}}, & x\le 0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}, & x>0. \end{cases}
O que se pede:
  • Provar analiticamente que (\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=\theta(x)].
  • Justificar esse resultado do ponto de vista gráfico.
Nota importante (para não ficar ambíguo): aqui toma-se a função degrau de Heaviside \theta(x) com o valor convencional na origem igual a 1/2; isto é,
\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & x=0,\\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}]

Passo 2

Análise no ponto x=0.
Para qualquer \varepsilon>0 temos, pela definição da função (ramo x\le 0):
f_{\varepsilon}(0)=\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}.
Logo, para x=0 a sequência (família) de valores é constante em \varepsilon e
\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(0)=\frac{1}{2}.
Isto já bate com a definição escolhida de \theta(0)=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Caso x>0.
Fixe um x>0. Então, para \varepsilon>0 e x>0 se usa o ramo x>0:
f_{\varepsilon}(x)=1-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}.
Observe que para \varepsilon\to 0^{+} temos \dfrac{x}{\varepsilon}\to +\infty. Conhecimento básico sobre exponenciais diz que e^{-t}\to 0 quando t\to +\infty. Aplicando com t=\dfrac{x}{\varepsilon} obtemos
e^{-\frac{x}{\varepsilon}}\xrightarrow[\varepsilon\to 0^{+}]{}0.
Portanto
f_{\varepsilon}(x)=1-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}\xrightarrow[\varepsilon\to 0^{+}]{}1.
Para deixar completamente rígido, pode-se usar a desigualdade não negativa
0<1-f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}\le \frac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}
e a direita tende a 0, logo f_{\varepsilon}(x)\to 1.

Passo 4

Caso x<0.
Fixe um x<0. Então, para \varepsilon>0 e x\le 0 se usa o ramo x\le 0:
f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{\varepsilon}}.
Como x<0 e \varepsilon\to 0^{+}, a razão \dfrac{x}{\varepsilon}\to -\infty. Sabendo que e^{t}\to 0 quando t\to -\infty, segue que
e^{\frac{x}{\varepsilon}}\xrightarrow[\varepsilon\to 0^{+}]{}0.
Logo
f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{\varepsilon}}\xrightarrow[\varepsilon\to 0^{+}]{}0.
De forma explícita temos a estimativa
0\le f_{\varepsilon}(x)\le\frac{1}{2}e^{-\frac{|x|}{\varepsilon}},
e a direita tende a 0 quando \varepsilon\to 0^{+}.

Passo 5

Conclusão pointwise (ponto a ponto).
Reunindo os três casos:
  • para x<0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=0;
  • para x=0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(0)=\tfrac{1}{2};
  • para x>0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=1.
Portanto, a convergência pontual é exatamente para a função degrau \theta(x) definida no Passo 1.

Passo 6

Observação sobre uniformidade e interpretação do decaimento (ajuda prática para a prova).
  • Se quiser mostrar convergência uniforme em subconjuntos afastados da origem: para qualquer \delta>0 a convergência é uniforme em (-\infty,-\delta] e em [\delta,+\infty) porque, por exemplo, para x\ge\delta>0,
0\le 1-f_{\varepsilon}(x)\le \frac{1}{2}e^{-\frac{\delta}{\varepsilon}}\xrightarrow[\varepsilon\to 0^{+}]{}0,
com um estimador que não depende de x nesse intervalo. Analogamente para x\le -\delta.
  • Porém, não há convergência uniforme em todo \mathbb{R}, porque a transição acontece numa janela de largura da ordem de \varepsilon ao redor de 0; conforme \varepsilon\to 0 essa janela fica cada vez mais estreita e a inclinação em 0 cresce (a derivada em 0 vale (1/2)(1/\varepsilon), que vai para +\infty).

Passo 7

Justificação gráfica (intuição visual para fixar).
  • Cada curva f_{\varepsilon} é contínua e cresce suavemente de 0 para 1, atingindo o valor 1/2 em x=0. Para x muito negativo a exponencial do ramo esquerdo é quase 0, então f_{\varepsilon} fica muito próxima de 0; para x muito positivo o termo exponencial do ramo direito é quase 0, então f_{\varepsilon} fica muito próxima de 1.
  • A transição entre 0 e 1 ocorre numa região centrada em 0 com “largura característica” da ordem de \varepsilon. Assim, ao diminuir \varepsilon a transição fica mais abrupta: a curva se aproxima de um degrau que sobe de 0 para 1 em x=0. No limite \varepsilon\to 0^{+} fica exatamente o degrau \theta(x) (com valor 1/2 em 0).
  • Em linguagem visual: para \varepsilon grande a curva é suave e lenta; para \varepsilon pequeno a curva é quase plana em 0 e 1 e tem uma subida muito íngreme em torno de 0.

Resposta

\lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=\theta(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & x=0,\\[4pt] 1, & x>0. \end{cases}]

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