f_{\varepsilon}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2} e^{\frac{x}{\varepsilon}} & \text { se } x \leqslant 0 \\\\ 1-\frac{1}{2} e^{-\frac{x}{\varepsilon}} & \text { se } x>0 \end{array}, \text { ande } \varepsilon>0 .\right.
Prove analiticamente que \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=\theta(x). Justifique este resultado do ponto de vista grático.
Passo 1
O enunciado dá a família de funções, com \varepsilon>0\):
\[f_{\varepsilon}(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}e^{\frac{x}{\varepsilon}}, & x\le 0,\\[6pt] 1-\dfrac{1}{2}e^{-\frac{x}{\varepsilon}}, & x>0. \end{cases}
O que se pede:
Provar analiticamente que (\displaystyle \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=\theta(x)].
Justificar esse resultado do ponto de vista gráfico.
Nota importante (para não ficar ambíguo): aqui toma-se a função degrau de Heaviside \theta(x) com o valor convencional na origem igual a 1/2; isto é,
Observe que para \varepsilon\to 0^{+} temos \dfrac{x}{\varepsilon}\to +\infty. Conhecimento básico sobre exponenciais diz que e^{-t}\to 0 quando t\to +\infty. Aplicando com t=\dfrac{x}{\varepsilon} obtemos
e a direita tende a 0 quando \varepsilon\to 0^{+}.
Passo 5
Conclusão pointwise (ponto a ponto).
Reunindo os três casos:
para x<0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=0;
para x=0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(0)=\tfrac{1}{2};
para x>0 tem-se \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} f_{\varepsilon}(x)=1.
Portanto, a convergência pontual é exatamente para a função degrau \theta(x) definida no Passo 1.
Passo 6
Observação sobre uniformidade e interpretação do decaimento (ajuda prática para a prova).
Se quiser mostrar convergência uniforme em subconjuntos afastados da origem: para qualquer \delta>0 a convergência é uniforme em (-\infty,-\delta] e em [\delta,+\infty) porque, por exemplo, para x\ge\delta>0,
com um estimador que não depende de x nesse intervalo. Analogamente para x\le -\delta.
Porém, não há convergência uniforme em todo \mathbb{R}, porque a transição acontece numa janela de largura da ordem de \varepsilon ao redor de 0; conforme \varepsilon\to 0 essa janela fica cada vez mais estreita e a inclinação em 0 cresce (a derivada em 0 vale (1/2)(1/\varepsilon), que vai para +\infty).
Passo 7
Justificação gráfica (intuição visual para fixar).
Cada curva f_{\varepsilon} é contínua e cresce suavemente de 0 para 1, atingindo o valor 1/2 em x=0. Para x muito negativo a exponencial do ramo esquerdo é quase 0, então f_{\varepsilon} fica muito próxima de 0; para x muito positivo o termo exponencial do ramo direito é quase 0, então f_{\varepsilon} fica muito próxima de 1.
A transição entre 0 e 1 ocorre numa região centrada em 0 com “largura característica” da ordem de \varepsilon. Assim, ao diminuir \varepsilon a transição fica mais abrupta: a curva se aproxima de um degrau que sobe de 0 para 1 em x=0. No limite \varepsilon\to 0^{+} fica exatamente o degrau \theta(x) (com valor 1/2 em 0).
Em linguagem visual: para \varepsilon grande a curva é suave e lenta; para \varepsilon pequeno a curva é quase plana em 0 e 1 e tem uma subida muito íngreme em torno de 0.