(7.) \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)}\,dx.
  • Dados: numerador x^{3}+x^{2}+2x+1 e denominador \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right).
    Nada mais é fornecido; a integral é uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve vir com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicando a ideia):
Quando temos uma fração racional cuja denominação é produto de polinômios quadráticos sem raízes reais (como \,x^{2}+1 e \,x^{2}+2), uma técnica natural é decompor a função em frações parciais do tipo
\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.
Explico por que: cada termo da forma \dfrac{mx+n}{x^{2}+a} é fácil de integrar usando substituição para a parte com x no numerador e a fórmula da arco-tangente para a parte constante no numerador. Então a próxima etapa é assumir essa decomposição e determinar A,B,C,D.

Passo 3

Montando a decomposição em frações parciais:
Assumir que
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+2) para eliminar denominadores, obtém-se a identidade em polinômios:
x^{3}+x^{2}+2x+1=(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1).

Passo 4

Expandir o lado direito e agrupar coeficientes por potências de x:
Calcule cada produto:
(Ax+B)(x^{2}+2)=Ax^{3}+Bx^{2}+2Ax+2B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=Cx^{3}+Dx^{2}+Cx+D.
Somando:
(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D).

Passo 5

Formar o sistema igualando coeficientes correspondentes:
Comparando com o polinômio do lado esquerdo x^{3}+x^{2}+2x+1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+C=1,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 2A+C=2,\\[4pt] 2B+D=1. \end{cases}
Cada linha corresponde aos coeficientes de (x{3},x{2},x] e ao termo constante, respectivamente.]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo (mostrando as contas):
Das duas primeiras equações para os coeficientes de x^{3} e x:
A+C=1,\qquad 2A+C=2.
Subtraindo a primeira da segunda:
(2A+C)-(A+C)=2-1 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Com A=1 obtemos C=1-A=0.
Agora as duas equações restantes para B e D:
B+D=1,\qquad 2B+D=1.
Subtraindo a primeira da segunda:
(2B+D)-(B+D)=1-1 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Com B=0 obtemos D=1-B=1.
Portanto os coeficientes são \,A=1,\;B=0,\;C=0,\;D=1.

Passo 7

Reescrever a integral usando a decomposição encontrada:
Substituindo os coeficientes na decomposição inicial,
\frac{x^{3}+x^{2}+2x+1}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+2}.
Logo a integral fica
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx+\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx.

Passo 8

Integrar cada termo separadamente, com explicação das fórmulas usadas:
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx:
    Use a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C_1=\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+C_1.
Observação: como x^{2}+1>0 para todo x, pode-se omitir barras de valor absoluto se preferir, escrevendo \ln(x^{2}+1).
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx:
    Reconhece-se a forma padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C. Aqui a^{2}=2, logo a=\sqrt{2}. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+2}\,dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C_2.
Explicando a fórmula: deriva-se de fazer a substituição t=\dfrac{x}{a} e usar que \dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^{2}}.

Passo 9

Juntar as primitivas e acrescentar a constante de integração final:
Somando os resultados dos dois termos e combinando as constantes C_1 e C_2 em uma única constante C, obtemos a primitiva geral
\frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

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