(7.)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Dados: numerador
e denominador .
Nada mais é fornecido; a integral é uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve vir com constante de integração.
Passo 2
Escolha do método (explicando a ideia):
Quando temos uma fração racional cuja denominação é produto de polinômios quadráticos sem raízes reais (como e
), uma técnica natural é decompor a função em frações parciais do tipo
Quando temos uma fração racional cuja denominação é produto de polinômios quadráticos sem raízes reais (como
Explico por que: cada termo da forma
é fácil de integrar usando substituição para a parte com
no numerador e a fórmula da arco-tangente para a parte constante no numerador. Então a próxima etapa é assumir essa decomposição e determinar
.
Passo 3
Montando a decomposição em frações parciais:
Assumir que
Assumir que
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores, obtém-se a identidade em polinômios:
Passo 4
Expandir o lado direito e agrupar coeficientes por potências de
:
Calcule cada produto:
Calcule cada produto:
Somando:
Passo 5
Formar o sistema igualando coeficientes correspondentes:
Comparando com o polinômio do lado esquerdo
Cada linha corresponde aos coeficientes de (x{3},x{2},x] e ao termo constante, respectivamente.]
Passo 6
Resolver o sistema passo a passo (mostrando as contas):
Das duas primeiras equações para os coeficientes de e
:
Das duas primeiras equações para os coeficientes de
Subtraindo a primeira da segunda:
Com
obtemos
.
Agora as duas equações restantes para
e
:
Subtraindo a primeira da segunda:
Com
obtemos
.
Portanto os coeficientes são
Passo 7
Reescrever a integral usando a decomposição encontrada:
Substituindo os coeficientes na decomposição inicial,
Substituindo os coeficientes na decomposição inicial,
Logo a integral fica
Passo 8
Integrar cada termo separadamente, com explicação das fórmulas usadas:
- Para
:
Use a substituição. Então , ou seja . Assim
Observação: como
para todo
, pode-se omitir barras de valor absoluto se preferir, escrevendo
.
- Para
:
Reconhece-se a forma padrão. Aqui , logo . Portanto
Explicando a fórmula: deriva-se de fazer a substituição
e usar que
.
Passo 9
Juntar as primitivas e acrescentar a constante de integração final:
Somando os resultados dos dois termos e combinando as constantes e
em uma única constante
, obtemos a primitiva geral
Somando os resultados dos dois termos e combinando as constantes