Calcule a integral:
\int \frac{x^{2}+1}{x\left(x^{2}+3\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}+1}{x\left(x^{2}+3\right)}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a razão racional \dfrac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)}.
  • A incógnita de integração é x.
  • Deve-se fornecer uma primitiva (antiderivada) da função, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Escolha do método. Aqui temos um quociente de polinômios cujo denominador fatorou-se em fatores (um linear x e um quadrático irreduzível x^{2}+3). O método mais direto é decompor a função em frações parciais da forma
\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+3},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico o porquê: qualquer racional com denomínio fatorado em fatores lineares e quadráticos distintos pode ser escrito como soma de termos simples cuja integração é conhecida (logaritmos e substituições elementares). As letras A,B,C representam coeficientes constantes que vamos encontrar igualando polinômios.

Passo 3

Determinar A,B,C. Igualando as expressões obtemos
x^{2}+1 = A(x^{2}+3) + (Bx+C)x.
Explicando cada termo: multiplicou-se ambos os lados por x(x^{2}+3) para eliminar denominadores. Agora desenvolvendo o lado direito:
A(x^{2}+3) + (Bx+C)x = A x^{2} + 3A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + 3A.
Igualando coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^2, de x e termo constante):
  • Coeficiente de x^{2}: 1 = A + B.
  • Coeficiente de x: 0 = C.
  • Termo constante: 1 = 3A.
Da terceira equação obtemos
A = \frac{1}{3}.
Com A encontrado, da primeira equação
B = 1 - A = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
E da segunda equação
C = 0.
Portanto a decomposição ficou
\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)} = \frac{1/3}{x} + \frac{(2/3)x}{x^{2}+3}.
Para clareza, escrevendo os fatores fora do numerador:
\frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\cdot\frac{x}{x^{2}+3}.

Passo 4

Integrar cada termo separadamente. A integral original se transforma em soma de duas integrais mais simples:
\int \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx + \frac{2}{3}\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx.
Agora explico as fórmulas que vou usar:
  • A primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Ou seja, \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. O valor absoluto é necessário porque x pode ser negativo.
  • Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+a}\,dx usar a substituição u=x^{2}+a. Com u=x^{2}+a tem-se du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}du, e então \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+a}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+a)+C.
Aplicando essas ideias:
  1. Primeira integral:
\frac{1}{3}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x|.
  1. Segunda integral: usar u=x^{2}+3, du=2x\,dx, então
\frac{2}{3}\int \frac{x}{x^{2}+3}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+3) = \frac{1}{3}\ln(x^{2}+3).
Note que \,x^{2}+3>0 para todo x, então não é necessário colocar valor absoluto dentro de \ln neste caso.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos uma primitiva geral:
\int \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+3)}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x| + \frac{1}{3}\ln(x^{2}+3) + C,
onde C é a constante de integração. Podemos também combinar os logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|x| + \frac{1}{3}\ln(x^{2}+3) = \frac{1}{3}\ln\!\big(|x|\,(x^{2}+3)\big).
Ambas as formas representam a mesma família de primitivas.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln|x|+\frac{1}{3}\ln(x^{2}+3)+C

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