Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é a razão racional
. - A incógnita de integração é
. - Deve-se fornecer uma primitiva (antiderivada) da função, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Escolha do método. Aqui temos um quociente de polinômios cujo denominador fatorou-se em fatores (um linear
e um quadrático irreduzível
). O método mais direto é decompor a função em frações parciais da forma
onde
são constantes a determinar. Explico o porquê: qualquer racional com denomínio fatorado em fatores lineares e quadráticos distintos pode ser escrito como soma de termos simples cuja integração é conhecida (logaritmos e substituições elementares). As letras
representam coeficientes constantes que vamos encontrar igualando polinômios.
Passo 3
Determinar
. Igualando as expressões obtemos
Explicando cada termo: multiplicou-se ambos os lados por
para eliminar denominadores. Agora desenvolvendo o lado direito:
Igualando coeficientes dos polinômios (coeficiente de
, de
e termo constante):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Da terceira equação obtemos
Com
encontrado, da primeira equação
E da segunda equação
Portanto a decomposição ficou
Para clareza, escrevendo os fatores fora do numerador:
Passo 4
Integrar cada termo separadamente. A integral original se transforma em soma de duas integrais mais simples:
Agora explico as fórmulas que vou usar:
- A primitiva de
é . Ou seja, . O valor absoluto é necessário porque pode ser negativo. - Para
usar a substituição . Com tem-se , logo , e então .
Aplicando essas ideias:
- Primeira integral:
- Segunda integral: usar
, , então
Note que
para todo
, então não é necessário colocar valor absoluto dentro de
neste caso.
Passo 5
Somando as duas partes obtemos uma primitiva geral:
onde
é a constante de integração. Podemos também combinar os logaritmos:
Ambas as formas representam a mesma família de primitivas.