Esboce o gráfico da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo aqui é superfícies definidas em termos da distância ao origem, então vamos usar coordenadas polares e explorar simetria de revolução.
Passo 2
Defina a coordenada radial
então
Isso reduz o problema a estudar a curva univariada
para
.
Passo 3
Analise o comportamento de
:
- Para
, . - Para
, , mas cresce lentamente. - A função é estritamente crescente em
.
Passo 4
Como
depende apenas de
, a superfície é um corpo de revolução em torno do eixo
.
As curvas de nível são círculos
As curvas de nível
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe no plano
a curva , que cruza em , vai a quando e sobe indefinidamente para . - Revolva essa curva ao redor do eixo
. O resultado é um funil logarítmico: afunila até no centro e abre indefinidamente conforme cresce.
Resposta
O gráfico é um funil de revolução definido por
que vai a
no centro
e cresce lentamente para cima à medida que
aumenta.