Esboce o gráfico da função
z=f(x, y) dada por:
f(x, y)=log (raizx^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
z = f(x,y) = logl(raizx^2 + y^2r)
O conteúdo aqui é superfícies definidas em termos da distância ao origem, então vamos usar coordenadas polares e explorar simetria de revolução.

Passo 2

Defina a coordenada radial
r = raizx^2 + y^2,
então
f(x,y) = logl(raizx^2 + y^2r) = log(r)
Isso reduz o problema a estudar a curva univariada z = log(r) para r>0.

Passo 3

Analise o comportamento de z=log(r):
  • Para rto0^+, log(r)to -infty.
  • Para rto+infty, log(r)to +infty, mas cresce lentamente.
  • A função é estritamente crescente em r>0.

Passo 4

Como f depende apenas de r, a superfície é um corpo de revolução em torno do eixo z.
As curvas de nível f(x,y)=c são círculos
raizx^2 + y^2 = e^c

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano rz a curva z=log(r), que cruza z=0 em r=1, vai a -infty quando rto0 e sobe indefinidamente para rtoinfty.
  2. Revolva essa curva ao redor do eixo z. O resultado é um funil logarítmico: afunila até -infty no centro e abre indefinidamente conforme r cresce.

Resposta

O gráfico é um funil de revolução definido por
z = log(r), r=raizx^2+y^2,
que vai a -infty no centro (x,y)=(0,0) e cresce lentamente para cima à medida que raizx^2+y^2 aumenta.

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