Exercício 21 (S.4.3)
Seja
e
não vazio. Dizemos que
é um conjunto minimal se for invariante, compacto e não contém subconjuntos próprios com estas propriedades. Prove que em
os únicos subconjuntos minimais de
são os pontos singulares e as órbitas periódicas.
Seja
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um campo vetorial
que gera um fluxo
em
, e um subconjunto não-vazio
é dito minimal se
.
é compacto;
.
é invariante:
para todo
;
.
não contém subconjuntos próprios não-vazios que também sejam compactos e invariantes.
Queremos mostrar que, em , todo conjunto minimal é ou um ponto singular (um ponto de equilíbrio) ou a órbita fechada de uma solução periódica.
Conteúdo que usaremos: o Teorema de Poincaré–Bendixson para fluxos em e a propriedade de minimalidade de que qualquer subconjunto invariante não-vazio e compacto coincide com
.
Queremos mostrar que, em
Conteúdo que usaremos: o Teorema de Poincaré–Bendixson para fluxos em
Passo 2
Mostramos que, se
contém algum ponto singular
(isto é,
), então
não pode ter mais de um ponto.
Explicação: o conjunto é compacto, invariante (como
é singular,
para todo
) e não contém subconjuntos próprios não-vazios com essas propriedades. Logo, por minimalidade de
, devemos ter
. Consequentemente, todo minimal que contenha um ponto singular é exatamente esse ponto.
Explicação: o conjunto
Passo 3
Agora suponha que
não contenha nenhum ponto singular. Escolha
. Como
é compacto e invariante, a órbita
permanece em
e tem fecho compacto. Definimos a
-limite de
por
A
-limite
é não-vazia, compacta e invariante, e está contida em
. Pela minimalidade de
, obrigatoriamente
.
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Poincaré–Bendixson à
-limite
. Esse teorema afirma que, para um fluxo contínuo em
, qualquer conjunto
-limite não-vazio, compacto e que não contenha pontos singulares deve ser ou
(a) uma órbita periódica fechada, ou
(b) a união de pontos singulares e arcos de órbitas que os conectam.
Como assumimos que não tem pontos singulares, a alternativa (b) cai, restando que
é uma órbita periódica.
(a) uma órbita periódica fechada, ou
(b) a união de pontos singulares e arcos de órbitas que os conectam.
Como assumimos que
Resposta
Em
, os únicos subconjuntos minimais de
são:
– pontos singulares (equilíbrios),
– órbitas periódicas (soluções periódicas fechadas).
– pontos singulares (equilíbrios),
– órbitas periódicas (soluções periódicas fechadas).