Exercício 21 (S.4.3)
Seja f: E R^2 e S subset E não vazio. Dizemos que S é um conjunto minimal se for invariante, compacto e não contém subconjuntos próprios com estas propriedades. Prove que em R^2 os únicos subconjuntos minimais de f são os pontos singulares e as órbitas periódicas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um campo vetorial fcolon EtoR^2 que gera um fluxo phit em E, e um subconjunto não-vazio Ssubset E é dito minimal se
1. S é compacto;
2. S é invariante: phit(S)=S para todo tinR;
3. S não contém subconjuntos próprios não-vazios que também sejam compactos e invariantes.
Queremos mostrar que, em R^2, todo conjunto minimal é ou um ponto singular (um ponto de equilíbrio) ou a órbita fechada de uma solução periódica.
Conteúdo que usaremos: o Teorema de Poincaré–Bendixson para fluxos em R^2 e a propriedade de minimalidade de que qualquer subconjunto invariante não-vazio e compacto coincide com S.

Passo 2

Mostramos que, se S contém algum ponto singular p (isto é, f(p)=0), então S não pode ter mais de um ponto.
Explicação: o conjunto p é compacto, invariante (como p é singular, phit(p)=p para todo t) e não contém subconjuntos próprios não-vazios com essas propriedades. Logo, por minimalidade de S, devemos ter S=p. Consequentemente, todo minimal que contenha um ponto singular é exatamente esse ponto.

Passo 3

Agora suponha que S não contenha nenhum ponto singular. Escolha xin S. Como S é compacto e invariante, a órbita phit(x)colon t>=0 permanece em S e tem fecho compacto. Definimos a omega-limite de x por
omega(x)=lyin Emid exists,tnto+infty com phitn(x)to yr
A omega-limite omega(x) é não-vazia, compacta e invariante, e está contida em S. Pela minimalidade de S, obrigatoriamente omega(x)=S.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Poincaré–Bendixson à omega-limite S. Esse teorema afirma que, para um fluxo contínuo em R^2, qualquer conjunto omega-limite não-vazio, compacto e que não contenha pontos singulares deve ser ou
(a) uma órbita periódica fechada, ou
(b) a união de pontos singulares e arcos de órbitas que os conectam.
Como assumimos que S não tem pontos singulares, a alternativa (b) cai, restando que S é uma órbita periódica.

Resposta

Em R^2, os únicos subconjuntos minimais de f são:
– pontos singulares (equilíbrios),
– órbitas periódicas (soluções periódicas fechadas).

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