Esboce um gráfico de uma função f que satisfaça as três condições:
x=1 é assíntota vertical de f
f seja contínua à direita em 1
f seja função par.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce um gráfico de uma função f que satisfaça três condições simultâneas. Vou listar claramente o que é pedido e o que já está dado:
  • Pergunta: esboçar (ou seja, descrever/construir) um gráfico de uma função f que satisfaça as três condições abaixo.
  • Condições dadas:
    1. x=1 é assíntota vertical de f.
    2. f é contínua à direita em 1 (isto é, \lim_{x\to1^+} f(x)=f(1)).
    3. f é função par (isto é, para todo x do domínio, f(-x)=f(x)).
Nada mais foi pedido explicitamente (por exemplo, não foi pedido que x=-1 seja assíntota), mas devo garantir que as três condições acima ocorram ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos lembrar certinho o que cada condição significa — isso é crucial para construir a função.
  • Assíntota vertical em x=1: significa que, ao nos aproximarmos de 1 por pelo menos um dos lados (esquerda ou direita), os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes em módulo. Em notação,
\text{existe pelo menos um dos sinais } \quad \lim_{x\to1^-} f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to1^+} f(x)=\pm\infty.
Não é obrigatório que as duas unhaes laterais sejam infinitas, basta que uma delas seja.
  • Continuidade à direita em 1: isso significa que a limit a partir da direita é finita e igual ao valor da função no ponto:
\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1)\quad\text{(número finito).}ú
Note que isso obriga que, se x=1 for assíntota vertical, a infinitude deve vir do lado esquerdo: ou seja, a única possibilidade compatível é \lim_{x\to1^-} f(x)=\pm\infty (infinito à esquerda) e \lim_{x\to1^+} f(x) finito.
  • Função par: por definição,
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x.
Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Importante: isso relaciona o comportamento em torno de x=1 com o comportamento em torno de x=-1 (vou usar isso mais adiante).

Passo 3

Consequência importante da paridade sobre limites perto de 1 e -1.
Se f for par, então, fazendo a substituição t=-x, para limites laterais obtemos as igualdades
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{t\to-1^+} f(t) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{t\to-1^-} f(t).
Isto é: a esquerda de 1 corresponde à direita de -1, e a direita de 1 corresponde à esquerda de -1. Logo, se a esquerda de 1 diverge (para \pm\infty), então a direita de -1 também diverge, e assim x=-1 também terá uma assíntota vertical (pelo menos de um lado). Isso mostra que, ao exigir paridade, uma “anormalidade” em 1 costuma forçar uma anormalidade espelhada em -1. Não é problema para o enunciado — só é bom saber.

Passo 4

Estratégia para construir a função (método prático):
  • Como f deve ser par, é natural construir f em função de |x|. Ou seja, escolher uma função g definida para r\ge0 e definir
f(x)=g(|x|).
Assim f será automaticamente par, pois |-x|=|x|.
  • Para garantir que x=1 seja assíntota vertical e que f seja contínua à direita em 1, precisamos que, em termos de g (definida em r\ge0):
    • \lim_{r\to1^-} g(r)=\pm\infty (diverge quando r se aproxima de 1 pela esquerda),
    • \lim_{r\to1^+} g(r) seja finito e igual a g(1).
Uma construção simples e explícita que faz isso é:
  • para 0\le r<1: g(r)=\dfrac{1}{r-1} (observe que quando r\to1^-, r-1\to0^- e 1/(r-1)\to-\infty);
  • definir g(1)=0;
  • para r>1: g(r)=0 (constante zero evita qualquer divergência pela direita).
Agora definimos
f(x)=g(|x|).

Passo 5

Escrevo explicitamente a função e verifico, passo a passo, que ela satisfaz as três condições.
Definição (explicita):
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{|x|-1}, & \text{se } |x|<1,\\[6pt] 0, & \text{se } |x|\ge 1. \end{cases}
Verificações:
  1. Paridade: como f(x) depende só de |x|, claramente f(-x)=f(x) para todo x. Portanto f é função par.
  2. Assíntota vertical em x=1: calcule a limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} \frac{1}{|x|-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty.
Aqui usei que, para x próximos de 1 por valores menores que 1, |x|=x, então a expressão é 1/(x-1) que tende a -\infty. Como uma das one-sided limits é infinita, x=1 é assíntota vertical.
  1. Continuidade à direita em 1: calcule a limite pela direita e compare com o valor em 1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 0 = 0,
e pelo definição f(1)=0. Logo
\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1),
ou seja, f é contínua à direita em 1.
Observação: pela paridade, a divergência à esquerda de 1 implica divergência à direita de -1, então x=-1 também será assíntota vertical (one-sided). Isso está de acordo com a construção e não contradiz o enunciado.]

Passo 6

Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  • Para x\le-1: |x|\ge1 então f(x)=0. No intervalo (-\infty,-1) o gráfico é a reta horizontal y=0.
  • Em x=-1: f(-1)=0. Ao aproximar-se de -1 pela direita (isto é, vindo de valores maiores que -1), |x| aproxima de 1 pela esquerda e f(x)=1/(|x|-1)\to-\infty. Então, ao chegar em -1 vindos da direita, o gráfico dispara para -\infty (vertical descendente).
  • Para -1<x<1: f(x)=1/(|x|-1). Essa função é negativa em todo intervalo (-1,1); em x=0 temos f(0)=1/(0-1)=-1. O gráfico é simétrico em torno do eixo y e vai de -\infty nas proximidades de x=\pm1 até -1 em x=0.
  • Em x=1: f(1)=0. Ao aproximar-se de 1 pela esquerda, o gráfico vai para -\infty; ao aproximar-se pela direita, o gráfico vem do valor 0 constante (porque para x>1 temos f(x)=0). Logo há um “salto” vertical no sentido de que a função chega a -\infty por um lado e a 0 pelo outro, e a direita é contínua.
  • Para x>1: f(x)=0, reta horizontal y=0.
Resumo visual mental: duas regiões horizontais em y=0 para x\le-1 e x\ge1; entre -1 e 1 uma “vale” negativo simétrico com f(0)=-1 e com as extremidades internas indo para -\infty em x=\pm1.

Passo 7

Dica prática para desenhar rápido na prova: desenhe o eixo y; marque -1 e 1 no eixo x. Desenhe a linha y=0 para x<-1 e x>1. No intervalo (-1,1) desenhe uma curva simétrica que atinge -1 em x=0 e vai para -\infty ao se aproximar de \pm1. Coloque pontos preenchidos em (-1,0) e (1,0) (valores definidos). Pronto — você tem o esboço exigido. Mantém a paridade, a assíntota vertical em x=1 e a continuidade à direita em 1.

Resposta

f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{|x|-1}, & \text{se } |x|<1,\\[6pt] 0, & \text{se } |x|\ge 1. \end{cases}]

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