Esboce um gráfico de uma função f que satisfaça as três condições: x=1 é assíntota vertical de f f seja contínua à direita em 1 f seja função par.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce um gráfico de uma função f que satisfaça três condições simultâneas. Vou listar claramente o que é pedido e o que já está dado:
Pergunta: esboçar (ou seja, descrever/construir) um gráfico de uma função f que satisfaça as três condições abaixo.
Condições dadas:
x=1 é assíntota vertical de f.
f é contínua à direita em 1 (isto é, \lim_{x\to1^+} f(x)=f(1)).
f é função par (isto é, para todo x do domínio, f(-x)=f(x)).
Nada mais foi pedido explicitamente (por exemplo, não foi pedido que x=-1 seja assíntota), mas devo garantir que as três condições acima ocorram ao mesmo tempo.
Passo 2
Vamos lembrar certinho o que cada condição significa — isso é crucial para construir a função.
Assíntota vertical em x=1: significa que, ao nos aproximarmos de 1 por pelo menos um dos lados (esquerda ou direita), os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes em módulo. Em notação,
\text{existe pelo menos um dos sinais } \quad \lim_{x\to1^-} f(x)=\pm\infty \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to1^+} f(x)=\pm\infty.
Não é obrigatório que as duas unhaes laterais sejam infinitas, basta que uma delas seja.
Continuidade à direita em 1: isso significa que a limit a partir da direita é finita e igual ao valor da função no ponto:
Note que isso obriga que, se x=1 for assíntota vertical, a infinitude deve vir do lado esquerdo: ou seja, a única possibilidade compatível é \lim_{x\to1^-} f(x)=\pm\infty (infinito à esquerda) e \lim_{x\to1^+} f(x) finito.
Função par: por definição,
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x.
Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Importante: isso relaciona o comportamento em torno de x=1 com o comportamento em torno de x=-1 (vou usar isso mais adiante).
Passo 3
Consequência importante da paridade sobre limites perto de 1 e -1.
Se f for par, então, fazendo a substituição t=-x, para limites laterais obtemos as igualdades
Isto é: a esquerda de 1 corresponde à direita de -1, e a direita de 1 corresponde à esquerda de -1. Logo, se a esquerda de 1 diverge (para \pm\infty), então a direita de -1 também diverge, e assim x=-1 também terá uma assíntota vertical (pelo menos de um lado). Isso mostra que, ao exigir paridade, uma “anormalidade” em 1 costuma forçar uma anormalidade espelhada em -1. Não é problema para o enunciado — só é bom saber.
Passo 4
Estratégia para construir a função (método prático):
Como f deve ser par, é natural construir f em função de |x|. Ou seja, escolher uma função g definida para r\ge0 e definir
f(x)=g(|x|).
Assim f será automaticamente par, pois |-x|=|x|.
Para garantir que x=1 seja assíntota vertical e que f seja contínua à direita em 1, precisamos que, em termos de g (definida em r\ge0):
\lim_{r\to1^-} g(r)=\pm\infty (diverge quando r se aproxima de 1 pela esquerda),
\lim_{r\to1^+} g(r) seja finito e igual a g(1).
Uma construção simples e explícita que faz isso é:
para 0\le r<1: g(r)=\dfrac{1}{r-1} (observe que quando r\to1^-, r-1\to0^- e 1/(r-1)\to-\infty);
definir g(1)=0;
para r>1: g(r)=0 (constante zero evita qualquer divergência pela direita).
Agora definimos
f(x)=g(|x|).
Passo 5
Escrevo explicitamente a função e verifico, passo a passo, que ela satisfaz as três condições.
Aqui usei que, para x próximos de 1 por valores menores que 1, |x|=x, então a expressão é 1/(x-1) que tende a -\infty. Como uma das one-sided limits é infinita, x=1 é assíntota vertical.
Continuidade à direita em 1: calcule a limite pela direita e compare com o valor em 1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 0 = 0,
e pelo definição f(1)=0. Logo
\lim_{x\to1^+} f(x)=f(1),
ou seja, f é contínua à direita em 1.
Observação: pela paridade, a divergência à esquerda de 1 implica divergência à direita de -1, então x=-1 também será assíntota vertical (one-sided). Isso está de acordo com a construção e não contradiz o enunciado.]
Passo 6
Como esboçar o gráfico (instruções passo a passo para desenhar à mão):
Para x\le-1: |x|\ge1 então f(x)=0. No intervalo (-\infty,-1) o gráfico é a reta horizontal y=0.
Em x=-1: f(-1)=0. Ao aproximar-se de -1 pela direita (isto é, vindo de valores maiores que -1), |x| aproxima de 1 pela esquerda e f(x)=1/(|x|-1)\to-\infty. Então, ao chegar em -1 vindos da direita, o gráfico dispara para -\infty (vertical descendente).
Para -1<x<1: f(x)=1/(|x|-1). Essa função é negativa em todo intervalo (-1,1); em x=0 temos f(0)=1/(0-1)=-1. O gráfico é simétrico em torno do eixo y e vai de -\infty nas proximidades de x=\pm1 até -1 em x=0.
Em x=1: f(1)=0. Ao aproximar-se de 1 pela esquerda, o gráfico vai para -\infty; ao aproximar-se pela direita, o gráfico vem do valor 0 constante (porque para x>1 temos f(x)=0). Logo há um “salto” vertical no sentido de que a função chega a -\infty por um lado e a 0 pelo outro, e a direita é contínua.
Para x>1: f(x)=0, reta horizontal y=0.
Resumo visual mental: duas regiões horizontais em y=0 para x\le-1 e x\ge1; entre -1 e 1 uma “vale” negativo simétrico com f(0)=-1 e com as extremidades internas indo para -\infty em x=\pm1.
Passo 7
Dica prática para desenhar rápido na prova: desenhe o eixo y; marque -1 e 1 no eixo x. Desenhe a linha y=0 para x<-1 e x>1. No intervalo (-1,1) desenhe uma curva simétrica que atinge -1 em x=0 e vai para -\infty ao se aproximar de \pm1. Coloque pontos preenchidos em (-1,0) e (1,0) (valores definidos). Pronto — você tem o esboço exigido. Mantém a paridade, a assíntota vertical em x=1 e a continuidade à direita em 1.