Os resultados abaixo foram determinados em ensaios consolidado-não drenado, com medida de poro-pressão. Determine os parâmetros de resistência totais e efetivos.
Ensaio (\sigma)_{\mathbf{c}} \mathbf{( k P a )} (\sigma)_{\mathbf{d}} \mathbf{( k P a )} \mathbf{u}(\mathbf{k P a})
\mathbf{1} 150 100 80
\mathbf{2} 300 202 164
\mathbf{3} 600 410 330

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os parâmetros de resistência totais e efetivos” a partir de três ensaios consolidado-não drenado com medição de poro-pressão.
Dados fornecidos (peguei direto da tabela do enunciado):
Ensaio 1: \\ (\sigma)_{c}=150\\ \text{kPa},\;(\sigma)_{d}=100\\ \text{kPa},\;u=80\\ \text{kPa}
Ensaio 2: \\ (\sigma)_{c}=300\\ \text{kPa},\;(\sigma)_{d}=202\\ \text{kPa},\;u=164\\ \text{kPa}
Ensaio 3: \\ (\sigma)_{c}=600\\ \text{kPa},\;(\sigma)_{d}=410\\ \text{kPa},\;u=330\\ \text{kPa}
O que precisamos entregar: os parâmetros da lei de Mohr–Coulomb para tensões totais (cohesão c e ângulo de atrito \varphi) e para tensões efetivas (cohesão efetiva c' e ângulo de atrito efetivo \varphi').
Não começo a resolver ainda — apenas organizei claramente o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro passo prático: determinar as tensões principais totais nos pontos de ruptura. Em ensaios triaxiais, a tensão deviadora (\sigma)_{d} é \sigma_1-\sigma_3. Vou assumir que (\sigma)_{c} do enunciado é a \sigma_3 (pressão de confinamento). Então:
Fórmula usada:
\sigma_1 = \sigma_3 + \sigma_d
Calculemos para cada ensaio:
Ensaio 1:
\sigma_3=150,\quad \sigma_d=100 \Rightarrow \sigma_1 = 150+100 = 250\\ \text{kPa}
Ensaio 2:
\sigma_3=300,\quad \sigma_d=202 \Rightarrow \sigma_1 = 300+202 = 502\\ \text{kPa}
Ensaio 3:
\sigma_3=600,\quad \sigma_d=410 \Rightarrow \sigma_1 = 600+410 = 1010\\ \text{kPa}
(As unidades acima são \text{kPa}.)

Passo 3

Agora obtenho as tensões efetivas principais usando a poro‑pressão medida u. A definição é:
\sigma' = \sigma - u
Aplicando para \sigma_1 e \sigma_3 em cada ensaio:
Ensaio 1 ( u=80):
\sigma_1' = 250 - 80 = 170\\ \text{kPa},\quad \sigma_3' = 150 - 80 = 70\\ \text{kPa}
Ensaio 2 ( u=164):
\sigma_1' = 502 - 164 = 338\\ \text{kPa},\quad \sigma_3' = 300 - 164 = 136\\ \text{kPa}
Ensaio 3 ( u=330):
\sigma_1' = 1010 - 330 = 680\\ \text{kPa},\quad \sigma_3' = 600 - 330 = 270\\ \text{kPa}
Observação útil: a diferença \sigma_1-\sigma_3 é a mesma em total e efetivo (porque subtraiu-se a mesma u de ambas), logo os raios das circunferências de Mohr serão iguais para total e efetivo em cada ensaio.

Passo 4

Explico a geometria e a equação de resistência que vou usar (aula rápida, mastigada):
  • Critério de Mohr–Coulomb em termos de tensão normal \sigma e tensão de cisalhamento \tau:
\tau = c + \sigma \tan\varphi,
onde c é a coesão e \varphi o ângulo de atrito. Essa é a equação da reta envelope no espaço (\sigma,\tau).
  • Em um ensaio triaxial, cada ruptura gera um círculo de Mohr com centro
S = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}
e raio
R = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
Essa circunferência deve ser tangente à reta \tau = c + \sigma \tan\varphi.
  • A condição de tangência, geometricamente, diz que a distância do centro (S,0) até a reta é igual ao raio R. Com m=\tan\varphi a reta é \tau = c + m\sigma. A distância (sem valor absoluto, assumindo sinal compatível) resulta na condição:
c + mS = R\sqrt{1+m^2}.
Essa equação vale para cada ensaio (cada círculo).

Passo 5

Agora obtenho centros S e raios R para os conjuntos de tensões totais e efetivas.
Primeiro, tensões totais (usei os \sigma_1,\sigma_3 do Passo 2):
Ensaio 1 total:
S_{1}^{tot}=\frac{250+150}{2}=200,\quad R_{1}^{tot}=\frac{250-150}{2}=50
Ensaio 2 total:
S_{2}^{tot}=\frac{502+300}{2}=401,\quad R_{2}^{tot}=\frac{502-300}{2}=101
Ensaio 3 total:
S_{3}^{tot}=\frac{1010+600}{2}=805,\quad R_{3}^{tot}=\frac{1010-600}{2}=205
Agora tensões efetivas (usei \sigma_1',\sigma_3' do Passo 3):
Ensaio 1 efetivo:
S_{1}^{ef}=\frac{170+70}{2}=120,\quad R_{1}^{ef}=\frac{170-70}{2}=50
Ensaio 2 efetivo:
S_{2}^{ef}=\frac{338+136}{2}=237,\quad R_{2}^{ef}=\frac{338-136}{2}=101
Ensaio 3 efetivo:
S_{3}^{ef}=\frac{680+270}{2}=475,\quad R_{3}^{ef}=\frac{680-270}{2}=205
Observe que, como comentado, os R coincidem entre total e efetivo (50, 101, 205) porque \sigma_1-\sigma_3 não muda ao subtrair u.

Passo 6

Resolveremos para m=\tan\varphi e c usando a condição de tangência aplicada a dois ensaios quaisquer. A forma algébrica útil (subtraindo as duas equações de tangência) é:
Se para os ensaios i e j vale
c + m S_i = R_i\sqrt{1+m^2},\quad c + m S_j = R_j\sqrt{1+m^2},
então subtraindo:
m(S_j-S_i)=(R_j-R_i)\sqrt{1+m^2}.
Elevando ao quadrado e isolando m^2 obtemos a fórmula prática:
m^2=\frac{(R_j-R_i)^2}{(S_j-S_i)^2-(R_j-R_i)^2}.
Vou aplicar essa fórmula usando os ensaios 1 e 3 (espaçados) tanto para as tensões totais quanto para as efetivas.

Passo 7

Cálculo numérico para as tensões totais (uso S_1^{tot}=200,\;S_3^{tot}=805,\;R_1^{tot}=50,\;R_3^{tot}=205):
(R_3-R_1)=205-50=155,\quad (S_3-S_1)=805-200=605.
m^2=\frac{155^2}{605^2-155^2}=\frac{24025}{342000}\approx 0{,}0702757.
m=\sqrt{0{,}0702757}\approx 0{,}265218\quad\Rightarrow\quad \varphi=\arctan m\approx 14{,}86^\circ.
Agora obtenho c usando uma das equações de tangência (uso o ensaio 1 total):
c = R_1\sqrt{1+m^2}-mS_1 = 50\sqrt{1+0{,}0702757}-0{,}265218\cdot 200.
Calcule:
\sqrt{1+m^2}\approx 1{,}034626,\quad 50\sqrt{1+m^2}\approx 51{,}7313,
mS_1\approx 0{,}265218\cdot 200 = 53{,}0436,
c \approx 51{,}7313 - 53{,}0436 = -1{,}3123\\ \text{kPa}.
Portanto, pelos dados totais:
\varphi \approx 14{,}86^\circ,\qquad c \approx -1{,}31\\ \text{kPa}.

Passo 8

Cálculo numérico para as tensões efetivas (uso S_1^{ef}=120,\;S_3^{ef}=475,\;R_1^{ef}=50,\;R_3^{ef}=205):
(R_3-R_1)=155,\quad (S_3-S_1)=475-120=355.
m^2=\frac{155^2}{355^2-155^2}=\frac{24025}{102000}\approx 0{,}235637.
m=\sqrt{0{,}235637}\approx 0{,}485483\quad\Rightarrow\quad \varphi'=\arctan m\approx 25{,}87^\circ.
Obtenho c' usando o ensaio 1 efetivo:
c' = R_1\sqrt{1+m^2}-mS_1 = 50\sqrt{1+0{,}235637}-0{,}485483\cdot 120.
Calcule:
\sqrt{1+m^2}\approx 1{,}111616,\quad 50\sqrt{1+m^2}\approx 55{,}5808,
mS_1\approx 0{,}485483\cdot 120 = 58{,}2579,
c' \approx 55{,}5808 - 58{,}2579 = -2{,}6771\\ \text{kPa}.
Portanto, pelos dados efetivos:
\varphi' \approx 25{,}87^\circ,\qquad c' \approx -2{,}68\\ \text{kPa}.

Passo 9

Interpretação prática e dica de prova (rápido e amigável):
  • Os valores de coesão obtidos são ligeiramente negativos ( c\approx -1{,}3\\ \text{kPa}, c'\approx -2{,}7\\ \text{kPa}). Isso normalmente indica ruído experimental / pequenas inconsistências nos ensaios. Em geotecnia prática costumamos reportar c\approx 0 e c'\approx 0 quando os valores são tão pequenos e negativos — o importante é o ângulo de atrito.
  • Assim, pode-se apresentar como resposta limpa: \varphi\approx 14{,}9^\circ e c\approx 0 para totais; \varphi'\approx 25{,}9^\circ e c'\approx 0 para efetivos, se a intenção for um resultado fisicamente coerente (solo sem coesão aparente).
  • Nos cálculos de prova, mostre o passo da fórmula de tangência e o cálculo de S,R — isso garante pontos mesmo se o resultado final for arredondado.

Resposta

Total: c\approx -1{,}31\\ \text{kPa}, \varphi\approx 14{,}86^\circ
Efetivo: c'\approx -2{,}68\\ \text{kPa}, \varphi'\approx 25{,}87^\circ

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