Seja
Determine
, se existir e justifique se
é contínua em 0 .
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede duas coisas:
- Determinar
, se existir. - Justificar se
é contínua em .
Informações relevantes fornecidas:
- Para
, . - Para
, . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Vamos calcular o limite pela esquerda, isto é
. Para
temos
. Uma propriedade simples e útil é que, quando
, o quadrado de
também tende a zero, porque o módulo do quadrado é pequeno quando o módulo de
é pequeno. Formalmente, para
vale
Se
então
. Portanto
Passo 3
Agora o limite pela direita,
. Para
temos
. Faça a substituição
. Quando
,
. Então
Sabemos (ou aceitamos e justificamos rapidamente) que a exponencial com argumento que vai para
tende a zero, isto é,
Uma justificativa intuitiva: para
grande positivo
é enorme, então
é muito pequeno — tende a zero quando
cresce sem limite. Assim
Passo 4
Como os limites laterais coincidem:
concluímos que o limite bilateral existe e vale
Passo 5
Agora verificamos continuidade em
. Primeiro calcule
pela definição da função: como
entra na parte
, temos
A definição de continuidade em um ponto diz:
é contínua em
se e somente se
. Já mostramos que
e
, portanto esses valores coincidem.
Passo 6
Conclusão final (motivação extra e recado): ambas as partes da função tendem a zero quando
se aproxima de
pelos dois lados; como o valor da função em
também é
, não há “salto” nem buraco no gráfico em
. Respire fundo — essa é daquelas funções por partes que parecem estranhas por causa do exponencial, mas perto de zero tudo se reúne no mesmo valor.