Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leq 0 \\\ e^{\frac{-1}{x}}, & x>0\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 0} f(x), se existir e justifique se f é contínua em 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leq 0 \\\ e^{\frac{-1}{x}}, & x>0\end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Determinar \lim_{x\to 0} f(x), se existir.
  2. Justificar se f é contínua em 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\le 0, f(x)=x^{2}.
  • Para x>0, f(x)=e^{-1/x}.
  • O ponto de interesse é x=0.

Passo 2

Vamos calcular o limite pela esquerda, isto é \lim_{x\to 0^-} f(x). Para x\le 0 temos f(x)=x^{2}. Uma propriedade simples e útil é que, quando x\to 0, o quadrado de x também tende a zero, porque o módulo do quadrado é pequeno quando o módulo de x é pequeno. Formalmente, para |x|\le 1 vale
0 \le x^{2} \le |x|.
Se |x|\to 0 então x^{2}\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} x^{2}=0.

Passo 3

Agora o limite pela direita, \lim_{x\to 0^+} f(x). Para x>0 temos f(x)=e^{-1/x}. Faça a substituição u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^+, u\to +\infty. Então
e^{-1/x}=e^{-u}.
Sabemos (ou aceitamos e justificamos rapidamente) que a exponencial com argumento que vai para -\infty tende a zero, isto é,
\lim_{u\to +\infty} e^{-u}=0.
Uma justificativa intuitiva: para u grande positivo e^{u} é enorme, então e^{-u}=1/e^{u} é muito pequeno — tende a zero quando u cresce sem limite. Assim
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} e^{-1/x}=0.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,
concluímos que o limite bilateral existe e vale
\lim_{x\to 0} f(x)=0.

Passo 5

Agora verificamos continuidade em 0. Primeiro calcule f(0) pela definição da função: como 0\le 0 entra na parte x^{2}, temos
f(0)=0^{2}=0.
A definição de continuidade em um ponto diz: f é contínua em 0 se e somente se \lim_{x\to 0} f(x)=f(0). Já mostramos que \lim_{x\to 0} f(x)=0 e f(0)=0, portanto esses valores coincidem.

Passo 6

Conclusão final (motivação extra e recado): ambas as partes da função tendem a zero quando x se aproxima de 0 pelos dois lados; como o valor da função em 0 também é 0, não há “salto” nem buraco no gráfico em 0. Respire fundo — essa é daquelas funções por partes que parecem estranhas por causa do exponencial, mas perto de zero tudo se reúne no mesmo valor.

Resposta

\lim_{x\to 0} f(x)=0
f é contínua em 0: sim, pois f(0)=0 e \lim_{x\to 0} f(x)=0.

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