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Esboce o gráfico da função
, indicando seus pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, sentidos das concavidades e limites no infinito.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
indicando
– pontos críticos (onde ),
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– ponto de inflexão (onde ),
– concavidades (onde muda de sinal),
– limites em .
Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda para obter todas essas informações.
– pontos críticos (onde
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– ponto de inflexão (onde
– concavidades (onde
– limites em
Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda para obter todas essas informações.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira para encontrar os pontos críticos:
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja,
Passo 3
Analisando o sinal de
:
– Para , temos
e
, logo
.
– Para , temos
e
, logo
.
– Para , temos
e
, logo
.
– Para
– Para
– Para
Portanto,
– cresce em
e em
,
– decresce em
.
–
–
Em
a função passa de crescente para decrescente (máximo local), e em
passa de decrescente para crescente (mínimo local).
Os valores correspondentes são
Os valores correspondentes são
Passo 4
Calculemos a derivada segunda para estudar concavidade e ponto de inflexão:
A inflexão ocorre onde
, isto é, em
. O valor de
ali é
Quanto à concavidade:
– Para ,
, concavidade voltada para baixo.
– Para ,
, concavidade voltada para cima.
– Para
– Para
Passo 5
Limites no infinito:
pois o termo dominante é
.
Passo 6
Com tudo isso temos o seguinte esboço qualitativo:
– Vai de quando
, cresce até
onde há máximo local e concavidade para baixo.
– Depois decresce até onde muda a concavidade (ponto de inflexão), continua decrescendo até
onde se atinge mínimo local.
– A seguir cresce para , agora com concavidade para cima.
– Vai de
– Depois decresce até
– A seguir cresce para
Resposta
– Pontos críticos e valores:
máximo local;
mínimo local.
– Crescimento: e
.
– Decrescimento: .
– Ponto de inflexão: .
– Concavidade para baixo: .
– Concavidade para cima: .
– Limites:
,
.
– Crescimento:
– Decrescimento:
– Ponto de inflexão:
– Concavidade para baixo:
– Concavidade para cima:
– Limites: