1. (3,0) Esboce o gráfico da função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1, indicando seus pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, sentidos das concavidades e limites no infinito.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=x^{3}-3x^{2}+1
indicando
– pontos críticos (onde f'(x)=0),
– intervalos de crescimento e decrescimento,
– ponto de inflexão (onde f''(x)=0),
– concavidades (onde f''(x) muda de sinal),
– limites em x\to\pm\infty.
Vamos usar cálculo de derivadas primeira e segunda para obter todas essas informações.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira para encontrar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+1\bigr) =3x^{2}-6x =3x(x-2).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja,
x=0\quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x)=3x(x-2):
– Para x<0, temos x<0 e x-2<0, logo f'(x)>0.
– Para 0<x<2, temos x>0 e x-2<0, logo f'(x)<0.
– Para x>2, temos x>0 e x-2>0, logo f'(x)>0.
Portanto,
f cresce em (-\infty,0) e em (2,\infty),
f decresce em (0,2).
Em x=0 a função passa de crescente para decrescente (máximo local), e em x=2 passa de decrescente para crescente (mínimo local).
Os valores correspondentes são
f(0)=1, \qquad f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+1=8-12+1=-3.

Passo 4

Calculemos a derivada segunda para estudar concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr) =6x-6 =6(x-1).
A inflexão ocorre onde f''(x)=0, isto é, em x=1. O valor de f ali é
f(1)=1^{3}-3\cdot1^{2}+1=1-3+1=-1.
Quanto à concavidade:
– Para x<1, f''(x)<0, concavidade voltada para baixo.
– Para x>1, f''(x)>0, concavidade voltada para cima.

Passo 5

Limites no infinito:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,
pois o termo dominante é x^{3}.

Passo 6

Com tudo isso temos o seguinte esboço qualitativo:
– Vai de -\infty quando x\to-\infty, cresce até (0,1) onde há máximo local e concavidade para baixo.
– Depois decresce até (1,-1) onde muda a concavidade (ponto de inflexão), continua decrescendo até (2,-3) onde se atinge mínimo local.
– A seguir cresce para +\infty, agora com concavidade para cima.

Resposta

– Pontos críticos e valores:
\;(0,1) máximo local; (2,-3) mínimo local.
– Crescimento: (-\infty,0) e (2,\infty).
– Decrescimento: (0,2).
– Ponto de inflexão: (1,-1).
– Concavidade para baixo: (-\infty,1).
– Concavidade para cima: (1,\infty).
– Limites:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

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