1. (2,0) \mathrm{O} comprimento da aresta de um cubo está crescendo a 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. A que taxa estará crescendo o volume quando a aresta for igual a 3 cm ?

Passo 1

O enunciado nos diz que a aresta de um cubo, que chamaremos de a, varia no tempo com taxa constante \frac{da}{dt}=2\\ \mathrm{cm/s}. Pede-se a taxa de variação do volume V do cubo quando a=3\\ \mathrm{cm}. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas (derivadas implícitas em função do tempo).

Passo 2

Definimos a relação entre volume e aresta do cubo:
V = a^3.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, usando regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = 3a^2 \,\frac{da}{dt}.

Passo 4

Substituímos a=3\\ \mathrm{cm} e \frac{da}{dt}=2\\ \mathrm{cm/s} na expressão obtida:
\frac{dV}{dt} = 3\cdot(3)^2\cdot 2 = 3\cdot9\cdot2 = 54\quad(\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}).

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=54\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{s}

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