Esboçe o gráfico da função: f(x)=1x+1 rvert,

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional f(x)=1x+1. O conteúdo é estudo de funções racionais (hipérboles) e vamos precisar determinar domínio, assíntotas, interceptos, comportamento e alguns pontos para guiar o desenho.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio: como o denominador não pode ser zero, exige-se x+1neq0, ou seja xneq -1.

Passo 3

Identificamos as assíntotas: a vertical ocorre onde o denominador zera, logo x=-1; a horizontal vem do limite quando xtopminfty, e temos limxtopminftyf(x)=0, ou seja a assíntota y=0.

Passo 4

Calculamos interceptos: para o eixo y ( x=0) temos f(0)=1, então há ponto (0,1). Para o eixo x resolvemos 1x+1=0, não há solução, logo não cruza o eixo x.

Passo 5

Analisamos sinal e monotonicidade: quando x>-1, x+1>0 e f(x)>0; quando x<-1, x+1<0 e f(x)<0. A derivada f'(x)=-1(x+1)^2<0 em ambos os ramos, então a função é estritamente decrescente em cada intervalo.

Passo 6

Escolhemos alguns pontos para orientar o esboço:
  • Para x=-2, f(-2)=-1.
  • Para x=-3, f(-3)=-tfrac12.
  • Para x=-0,5, f(-0,5)=2.
  • Para x=1, f(1)=tfrac12.

Passo 7

Com esses elementos, desenhamos dois ramos de hipérbole:
  • Para x>-1, o ramo no primeiro quadrante que vai de +infty próximo a x=-1^+ até se aproximar de 0 conforme xto+infty.
  • Para x<-1, o ramo no terceiro quadrante que vai de -infty próximo a x=-1^- até se aproximar de 0 conforme xto-infty.

Resposta

O gráfico é uma hipérbole com assíntota vertical em x=-1 e horizontal em y=0, com ramo no primeiro quadrante para x>-1 e ramo no terceiro quadrante para x<-1.

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