Esboce o gráfico da função:
f(x)=-x^{2}+3 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática
f(x) = -x^{2} + 3x
Este tipo de função é uma parábola. Como o coeficiente de x^{2} é negativo ( -1), a parábola tem concavidade para baixo. Para desenhar, vamos precisar dos pontos em que ela corta os eixos e do vértice.

Passo 2

Encontrar as interceptações com o eixo x, ou seja, resolver
f(x)=0 \;\Longrightarrow\;-x^{2}+3x=0\;\Longrightarrow\;x(-x+3)=0
Também usamos o ponto em que ela corta o eixo y, que é f(0).
  • De x(-x+3)=0 obtemos x=0 e x=3. São os pontos (0,0) e (3,0).
  • Em x=0, há também o valor f(0)=0, confirmando o ponto (0,0) no eixo y.

Passo 3

Calcular o vértice da parábola. A abcissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2\cdot(-1)} = \frac{3}{2}.
Para a ordenada, avaliamos f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr):
f\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) = -\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} +3\cdot\tfrac{3}{2} = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{9}{2} = \tfrac{9}{4}.
Logo o vértice é \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{9}{4}\bigr).

Passo 4

Identificar a concavidade e o eixo de simetria.
  • Como a=-1<0, a parábola abre para baixo.
  • O eixo de simetria é a reta vertical x = \frac{3}{2}.

Passo 5

Esboçar o gráfico unindo tudo que achamos:
1. Marcar os pontos (0,0) e (3,0) no eixo x.
2. Marcar o vértice \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{9}{4}\bigr) acima desses pontos.
3. Desenhar a parábola passando por esses pontos, com concavidade para baixo e simetria em x=\tfrac{3}{2}.

Resposta

O esboço é uma parábola de concavidade para baixo com interceptos em (0,0) e (3,0), vértice em \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{9}{4}\bigr) e eixo de simetria x=\tfrac{3}{2}.

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