Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(\ln k)[\ln (\ln k)]^{5}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série de termos positivos
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\,\ln k\,\bigl[\ln(\ln k)\bigr]^{5}}
e decidir se ela converge absolutamente, converge apenas condicionalmente ou diverge. Como todos os termos são positivos, “convergência absoluta” coincide com “convergência”. Vamos usar o Teste da Integral.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\ln x\,\bigl[\ln(\ln x)\bigr]^{5}},
definida para x\ge2. Observamos que, para x\ge e^e, f(x) é positiva, contínua e estritamente decrescente. Logo, a soma \sum f(k) e a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x
têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Calculamos
\int_{2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\,\ln x\,\bigl[\ln(\ln x)\bigr]^{5}}.
Fazendo a substituição \,t=\ln x\Rightarrow \mathrm{d}t=\tfrac{\mathrm{d}x}{x}, o limite inferior x=2 vira t=\ln2 e x\to\infty vira t\to\infty. A integral fica
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t\,\bigl[\ln t\bigr]^{5}}.

Passo 4

Em seguida fazemos u=\ln t\Rightarrow \mathrm{d}u=\tfrac{\mathrm{d}t}{t}. Quando t=\ln2 temos u=\ln(\ln2), e t\to\infty implica u\to\infty. Assim
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t\,\bigl[\ln t\bigr]^{5}} =\int_{\ln(\ln2)}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u^{5}}.
Essa última integral é
\int_{\ln(\ln2)}^{\infty}u^{-5}\,\mathrm{d}u =\left[-\frac{1}{4\,u^{4}}\right]_{u=\ln(\ln2)}^{u\to\infty} <\infty,
ou seja, ela converge (pois a potência 5>1).

Passo 5

Como a integral converge, o Teste da Integral garante que
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\,\ln k\,\bigl[\ln(\ln k)\bigr]^{5}}
também converge. E, por serem termos positivos, essa convergência é de fato absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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