Determine se cada uma das seguintes séries abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente (Use qualquer Teste ou Teorema que ache apropriado para justificar sua resposta):
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série de termos positivos
e decidir se ela converge absolutamente, converge apenas condicionalmente ou diverge. Como todos os termos são positivos, “convergência absoluta” coincide com “convergência”. Vamos usar o Teste da Integral.
Passo 2
Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função
definida para
. Observamos que, para
,
é positiva, contínua e estritamente decrescente. Logo, a soma
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 3
Calculamos
Fazendo a substituição
, o limite inferior
vira
e
vira
. A integral fica
Passo 4
Em seguida fazemos
. Quando
temos
, e
implica
. Assim
Essa última integral é
ou seja, ela converge (pois a potência
).
Passo 5
Como a integral converge, o Teste da Integral garante que
também converge. E, por serem termos positivos, essa convergência é de fato absoluta.
Resposta
A série é absolutamente convergente.