Esboce o gráfico da função:
f(x)=-x^{2}-2 x-1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = -x^{2} - 2x - 1.
Este é um exercício de estudo de parábolas: precisamos identificar a concavidade, o vértice, a reta eixo de simetria e os interceptos para montar o esboço.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos a forma geral
f(x) = ax^{2} + bx + c
com a = -1, b = -2 e c = -1.
Como a<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (é um “ \cap”).

Passo 3

O eixo de simetria é dado por
x_{v} = -\frac{b}{2a}
Substituindo a=-1 e b=-2, vem
x_{v} = -\frac{-2}{2\cdot(-1)} = \frac{2}{-2} = -1.
O vértice tem abscissa x_{v}=-1. Para achar a ordenada, calculamos
f(-1) = -(-1)^{2} -2\cdot(-1) -1 = -1 +2 -1 = 0.
Logo o vértice é (-1,0), que também é o ponto de máximo.

Passo 4

Intercepto com o eixo y: basta x=0, então
f(0) = -1,
logo o ponto (0,-1).
Para as raízes, resolvemos
-x^{2} -2x -1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} +2x +1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^{2} = 0,
que tem raiz dupla x=-1. Isso confirma que a parábola “toca” o eixo x exatamente no vértice.

Passo 5

Para um esboço mais rico, escolhemos um ponto simétrico ao (0,-1) em relação a x=-1.
Se (0,-1) está a uma unidade à direita de -1, então (-2,-1) está a uma unidade à esquerda e satisfaz
f(-2) = -(-2)^{2} -2\cdot(-2) -1 = -4 +4 -1 = -1.
Agora temos os pontos essenciais:
vértice (-1,0), intercepto y em (0,-1) e ponto simétrico (-2,-1). A parábola abre para baixo e toca o eixo x apenas em (-1,0).
Com isso, traçamos a curva passando por esses pontos, lembrando da concavidade.

Resposta

O gráfico é uma parábola de concavidade para baixo com:
vértice em (-1,0),
eixo de simetria x = -1,
intercepto em y no ponto (0,-1),
e raízes duplas em x=-1.
Pontos adicionais: (0,-1) e (-2,-1). A curva “toca” o eixo x no vértice e desce simetricamente para baixo.

Exercícios relacionados