Esboçe o gráfico da função
detalhando todos os passos necessários.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
e detalhar todos os passos necessários.
Informações dadas e o que vamos procurar (lista clara do que extraí do enunciado):
Informações dadas e o que vamos procurar (lista clara do que extraí do enunciado):
- A função é
. - Precisamos determinar domínio, zeros, assíntotas, extremos locais, pontos de inflexão, monotonicidade e concavidade, e a partir disso esboçar o gráfico.
- Não há outras informações externas (como figura) — tudo será obtido a partir da expressão dada.
Passo 2
Simplificar a expressão para trabalhar com uma forma mais clara. Fazer a divisão por
(válida para
):
Explicação didática: dividir cada termo do numerador por
dá uma forma mais palpável. Agora
aparece como soma de um polinômio simples
e uma pequena correção
.
Passo 3
Determinar o domínio e a continuidade.
- O denominador original é
, logo . Portanto o domínio é
- Em
a função não está definida; isso geralmente indica uma assíntota vertical ou descontinuidade infinita. Vamos estudar o comportamento perto de nos próximos passos.
Passo 4
Comportamento perto de
— limites laterais (assíntota vertical).
Para a expressão
domina e tende a
, então
Para
Para
,
tende a
, então
Conclusão: há uma assíntota vertical em
; à direita da assíntota a função vai para
e à esquerda para
.
Passo 5
Interseções com os eixos (zeros e interceptos).
- Não existe intercepto em
porque não pertence ao domínio. - Zeros: resolver
. Usando a forma original,
Portanto há um único zero real em
. Valor numérico aproximado:
Assim o intercepto com o eixo
é
.
Passo 6
Comportamento para
— assíntota “parabólica”.
Observação: . Como
quando
, a função fica cada vez mais próxima da curva
. Em linguagem técnica, o gráfico de
se aproxima da parábola
quando
cresce, porque
Observação:
Explicação didática: aqui a “assíntota” não é reta, é a parábola
(às vezes chamada de assíntota curvilínea ou comportamento assintótico). Portanto, para grande
o gráfico fica muito próximo de
.
Passo 7
Derivada primeira — monotonicidade e extremos locais.
Calcular . Regras usadas: derivada de
é
; derivada de
escrevendo
dá
. Assim
Calcular
Para achar pontos críticos resolvemos
:
Logo
e o único ponto crítico real no domínio é
Avaliar
em
:
portanto ponto crítico
.
Análise do sinal de
(tabela mental rápida):
- Para
: por exemplo dá . Logo decresce em . - Para
: por exemplo dá . Logo cresce em . - Para
: ambos os termos e são positivos, então . Logo cresce em .
Conclusão:
é um mínimo local (a função passa de decrescente para crescente). Isto combina com
.
Passo 8
Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão.
Calcular . Derivando
temos:
Calcular
Pontos de inflexão quando
:
Avaliar
naquele ponto:
Portanto há um ponto de inflexão em
, que coincidentemente é também o zero de
.
Concavidade por intervalos:
- Para
: testar dá . Então é côncava para cima em . - Para
: escolher dá . Então côncava para baixo em . - Para
: e . Então côncava para cima em .
Resumo: inflexão em
que troca concavidade de baixo (no intervalo pequeno positivo) para cima.
Passo 9
Montagem do esboço com todas as informações (guia passo a passo para desenhar no papel):
- Trace o eixo
e marque como uma assíntota vertical; desenhe uma linha tracejada em . - À esquerda de zero (
): - A função é definida e positiva para todo
. - Ela decresce até
, onde atinge mínimo local , depois cresce em direção a quando . - A concavidade é para cima em todo
. - Para
o gráfico aproxima-se da parábola pelo lado de cima.
- A função é definida e positiva para todo
- Próximo de
: - Do lado esquerdo
quando . - Do lado direito
quando .
- Do lado esquerdo
- Para
: - A função parte de
em e é estritamente crescente para todo . - Cruzamento com o eixo
em (aprox. ). - Há ponto de inflexão exatamente em
: antes disso (entre e ) a curva é côncava para baixo e depois passa a ser côncava para cima. - Para
o gráfico aproxima-se da parábola (a diferença tende a zero).
- A função parte de
- Com essas informações desenhe uma curva que: à esquerda parece uma “ramificação” positiva que decresce, toca o mínimo em
, sobe e explode para em ; do lado direito surge de em , sobe rapidamente, cruza o eixo em (onde muda concavidade) e segue aproximando-se de .
Dica prática para o esboço: desenhe também a parábola
levemente tracejada para usar como referência, pois o gráfico de
fica muito perto dela para
grandes.
Passo 10
Resumo final das características principais (valores exatos e aproximações úteis):
- Domínio:
. - Zero:
(ponto ). - Não há intercepto em
. - Assíntota vertical:
com e . - Comportamento em infinito: aproxima-se da parábola
pois e . - Extremo local: mínimo em
. - Monotonicidade: decrescente em
; crescente em e em . - Concavidade: côncava para cima em
; côncava para baixo em ; côncava para cima em . - Ponto de inflexão:
.
Resposta
Domínio:
Zero: (aprox.
)
Assíntota vertical: com
e
Comportamento em infinito: aproxima-se da parábola (pois
)
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: decrescente em ; crescente em
e em
Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
, côncava para cima em
Zero:
Assíntota vertical:
Comportamento em infinito: aproxima-se da parábola
Mínimo local:
Ponto de inflexão:
Monotonicidade: decrescente em
Concavidade: côncava para cima em