Esboçe o gráfico da função f(x)=\frac{x^{3}-2}{x} detalhando todos os passos necessários.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função f(x)=\dfrac{x^{3}-2}{x} e detalhar todos os passos necessários.
Informações dadas e o que vamos procurar (lista clara do que extraí do enunciado):
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{3}-2}{x}.
  • Precisamos determinar domínio, zeros, assíntotas, extremos locais, pontos de inflexão, monotonicidade e concavidade, e a partir disso esboçar o gráfico.
  • Não há outras informações externas (como figura) — tudo será obtido a partir da expressão dada.

Passo 2

Simplificar a expressão para trabalhar com uma forma mais clara. Fazer a divisão por x (válida para x\neq0):
f(x)=\frac{x^{3}-2}{x}=x^{2}-\frac{2}{x}.
Explicação didática: dividir cada termo do numerador por x dá uma forma mais palpável. Agora f aparece como soma de um polinômio simples x^{2} e uma pequena correção -2/x.

Passo 3

Determinar o domínio e a continuidade.
  • O denominador original é x, logo x\neq0. Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
  • Em x=0 a função não está definida; isso geralmente indica uma assíntota vertical ou descontinuidade infinita. Vamos estudar o comportamento perto de 0 nos próximos passos.

Passo 4

Comportamento perto de x=0 — limites laterais (assíntota vertical).
Para x\to0^{+} a expressão -\dfrac{2}{x} domina e tende a -\infty, então
\lim_{x\to0^{+}} f(x)= -\infty.
Para x\to0^{-}, -\dfrac{2}{x} tende a +\infty, então
\lim_{x\to0^{-}} f(x)= +\infty.
Conclusão: há uma assíntota vertical em x=0; à direita da assíntota a função vai para -\infty e à esquerda para +\infty.

Passo 5

Interseções com os eixos (zeros e interceptos).
  • Não existe intercepto em y porque x=0 não pertence ao domínio.
  • Zeros: resolver f(x)=0. Usando a forma original,
\frac{x^{3}-2}{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{2}.
Portanto há um único zero real em x=\sqrt[3]{2}. Valor numérico aproximado:
\sqrt[3]{2}\approx1{,}26.
Assim o intercepto com o eixo x é \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr).

Passo 6

Comportamento para x\to\pm\infty — assíntota “parabólica”.
Observação: f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x}. Como \dfrac{2}{x}\to0 quando |x|\to\infty, a função fica cada vez mais próxima da curva y=x^{2}. Em linguagem técnica, o gráfico de f se aproxima da parábola y=x^{2} quando |x| cresce, porque
\lim_{x\to\pm\infty} \bigl(f(x)-x^{2}\bigr)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(-\frac{2}{x}\right)=0.
Explicação didática: aqui a “assíntota” não é reta, é a parábola y=x^{2} (às vezes chamada de assíntota curvilínea ou comportamento assintótico). Portanto, para grande |x| o gráfico fica muito próximo de y=x^{2}.

Passo 7

Derivada primeira — monotonicidade e extremos locais.
Calcular f'(x). Regras usadas: derivada de x^{2} é 2x; derivada de -2/x escrevendo -2x^{-1} -2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}. Assim
f'(x)=2x+\frac{2}{x^{2}}.
Para achar pontos críticos resolvemos f'(x)=0:
2x+\frac{2}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+\frac{1}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}+1=0.
Logo x^{3}=-1 e o único ponto crítico real no domínio é
x=-1.
Avaliar f em -1:
f(-1)=(-1)^{2}-\frac{2}{-1}=1+2=3,
portanto ponto crítico (-1,3).
Análise do sinal de f'(x) (tabela mental rápida):
  • Para x<-1: por exemplo x=-2 f'(-2)=2(-2)+2/4=-4+0,5=-3{,}5<0. Logo f decresce em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0: por exemplo x=-0,5 f'(-0,5)=-1+2/0,25=-1+8=7>0. Logo f cresce em (-1,0).
  • Para x>0: ambos os termos 2x e 2/x^{2} são positivos, então f'(x)>0. Logo f cresce em (0,\infty).
Conclusão: x=-1 é um mínimo local (a função passa de decrescente para crescente). Isto combina com f(-1)=3.

Passo 8

Derivada segunda — concavidade e ponto de inflexão.
Calcular f''(x). Derivando f'(x)=2x+2x^{-2} temos:
f''(x)=2-4x^{-3}=2-\frac{4}{x^{3}}.
Pontos de inflexão quando f''(x)=0:
2-\frac{4}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{x^{3}}=2 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt[3]{2}.
Avaliar f naquele ponto:
f\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)=\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{2}}=2^{2/3}-2^{2/3}=0.
Portanto há um ponto de inflexão em \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr), que coincidentemente é também o zero de f.
Concavidade por intervalos:
  • Para x<0: testar x=-1 f''(-1)=2-4/(-1)=6>0. Então f é côncava para cima em (-\infty,0).
  • Para 0<x<\sqrt[3]{2}: escolher x=1 f''(1)=2-4= -2<0. Então côncava para baixo em (0,\sqrt[3]{2}).
  • Para x>\sqrt[3]{2}: x^{3}>2 e f''(x)>0. Então côncava para cima em (\sqrt[3]{2},\infty).
Resumo: inflexão em x=\sqrt[3]{2} que troca concavidade de baixo (no intervalo pequeno positivo) para cima.

Passo 9

Montagem do esboço com todas as informações (guia passo a passo para desenhar no papel):
  1. Trace o eixo y e marque x=0 como uma assíntota vertical; desenhe uma linha tracejada em x=0.
  2. À esquerda de zero ( x<0):
    • A função é definida e positiva para todo x<0.
    • Ela decresce até x=-1, onde atinge mínimo local (-1,3), depois cresce em direção a +\infty quando x\to0^{-}.
    • A concavidade é para cima em todo (-\infty,0).
    • Para x\to -\infty o gráfico aproxima-se da parábola y=x^{2} pelo lado de cima.
  3. Próximo de x=0:
    • Do lado esquerdo f(x)\to+\infty quando x\to0^{-}.
    • Do lado direito f(x)\to-\infty quando x\to0^{+}.
  4. Para x>0:
    • A função parte de -\infty em 0^{+} e é estritamente crescente para todo x>0.
    • Cruzamento com o eixo x em \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr) (aprox. 1{,}26).
    • Há ponto de inflexão exatamente em \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr): antes disso (entre 0 e 1{,}26) a curva é côncava para baixo e depois passa a ser côncava para cima.
    • Para x\to+\infty o gráfico aproxima-se da parábola y=x^{2} (a diferença f(x)-x^{2}=-2/x tende a zero).
  5. Com essas informações desenhe uma curva que: à esquerda parece uma “ramificação” positiva que decresce, toca o mínimo em (-1,3), sobe e explode para +\infty em x=0^{-}; do lado direito surge de -\infty em 0^{+}, sobe rapidamente, cruza o eixo x em x\approx1{,}26 (onde muda concavidade) e segue aproximando-se de y=x^{2}.
Dica prática para o esboço: desenhe também a parábola y=x^{2} levemente tracejada para usar como referência, pois o gráfico de f fica muito perto dela para |x| grandes.

Passo 10

Resumo final das características principais (valores exatos e aproximações úteis):
  • Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}.
  • Zero: x=\sqrt[3]{2}\approx1{,}26 (ponto \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr)).
  • Não há intercepto em y.
  • Assíntota vertical: x=0 com \lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty.
  • Comportamento em infinito: aproxima-se da parábola y=x^{2} pois f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x} e \lim_{|x|\to\infty}\bigl(f(x)-x^{2}\bigr)=0.
  • Extremo local: mínimo em (-1,3).
  • Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-1); crescente em (-1,0) e em (0,\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0); côncava para baixo em (0,\sqrt[3]{2}); côncava para cima em (\sqrt[3]{2},\infty).
  • Ponto de inflexão: \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr).

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}
Zero: \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr) (aprox. (1{,}26,0))
Assíntota vertical: x=0 com \lim_{x\to0^{-}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty
Comportamento em infinito: aproxima-se da parábola y=x^{2} (pois f(x)=x^{2}-\dfrac{2}{x})
Mínimo local: (-1,3)
Ponto de inflexão: \bigl(\sqrt[3]{2},0\bigr)
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-1); crescente em (-1,0) e em (0,\infty)
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,0), côncava para baixo em (0,\sqrt[3]{2}), côncava para cima em (\sqrt[3]{2},\infty)

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