Mostre que g(x)=8 x^{3}+30 x^{2}+24 x+10 admite uma única raiz no intervalo (-3,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio g(x)=8x^{3}+30x^{2}+24x+10 e pede para mostrar que ele admite exatamente (ou única) raiz no intervalo (-3,-2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o polinômio g(x)=8x^{3}+30x^{2}+24x+10.
  • O intervalo a investigar é (-3,-2).
  • Objetivo: provar existência de pelo menos uma raiz em (-3,-2) e provar que não há mais que uma (ou seja, existência + unicidade).

Passo 2

Primeiro passo: testar os sinais de g nas extremidades do intervalo para tentar garantir existência de raiz por mudança de sinal.
Calcular g(-3):
g(-3)=8(-3)^{3}+30(-3)^{2}+24(-3)+10.
Desenvolvendo passo a passo:
(-3)^{3}=-27,\quad 8\cdot(-27)=-216,
(-3)^{2}=9,\quad 30\cdot 9=270,
24\cdot(-3)=-72.
Somando:
g(-3)=-216+270-72+10.
Calcule por etapas: -216+270=54, 54-72=-18, -18+10=-8. Logo
g(-3)=-8<0.
Calcular g(-2):
g(-2)=8(-2)^{3}+30(-2)^{2}+24(-2)+10.
Passo a passo:
(-2)^{3}=-8,\quad 8\cdot(-8)=-64,
(-2)^{2}=4,\quad 30\cdot 4=120,
24\cdot(-2)=-48.
Somando:
g(-2)=-64+120-48+10.
Calcule por etapas: -64+120=56, 56-48=8, 8+10=18. Logo
g(-2)=18>0.

Passo 3

Agora uso o teorema do valor intermediário (TVI) para garantir existência de raiz. Vou explicar rapidinho o que uso:
  • Uma função polinomial é contínua em todo \mathbb{R}. Isso significa que não tem saltos nem buracos.
  • O Teorema do Valor Intermediário diz: se uma função contínua f toma valores de sinais opostos em dois pontos a e b (isto é, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Aplicando ao nosso caso: como g(-3)=-8<0 e g(-2)=18>0, temos g(-3)g(-2)<0. Como g é contínua, o TVI garante a existência de pelo menos uma raiz r com r\in(-3,-2).

Passo 4

Agora prova da unicidade (ou seja, mostrar que não existem duas ou mais raízes dentro de (-3,-2)). Estrategia: mostrar que g é estritamente monótona no intervalo (por exemplo, estritamente crescente), o que implica que não pode ter mais de uma raiz ali.
Calcule a derivada g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(8x^{3}+30x^{2}+24x+10\big)=24x^{2}+60x+24.
Factorizar para analisar o sinal:
g'(x)=12\big(2x^{2}+5x+2\big).
Agora fatorizar o polinômio quadrático:
2x^{2}+5x+2=(2x+1)(x+2),
pois (2x+1)(x+2)=2x^{2}+4x+x+2=2x^{2}+5x+2. Portanto
g'(x)=12(2x+1)(x+2).

Passo 5

Determinar o sinal de g'(x) para x\in(-3,-2).
Analisar os fatores em (-3,-2):
  • Para x\in(-3,-2) temos x+2<0 (porque x<-2).
  • Para x\in(-3,-2) temos 2x+1<0 também (ex.: em x=-3, 2x+1=-5; em x=-2, 2x+1=-3; o termo é contínuo e permanece negativo no intervalo).
Logo (2x+1)<0 e (x+2)<0 no intervalo. O produto (2x+1)(x+2) é então positivo (negativo vezes negativo é positivo). Multiplicando por 12>0 mantém-se positivo. Portanto
g'(x)>0\quad\text{para todo }x\in(-3,-2).
Isto mostra que g é estritamente crescente em (-3,-2).

Passo 6

Concluir unicidade: uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz em um intervalo convexo, porque se houvesse duas raízes r_1<r_2 teria g(r_1)=g(r_2)=0 e pela monotonicidade isso só é possível se a função fosse constante entre r_1 e r_2, o que contradiz g'(x)>0. Assim g tem no máximo uma raiz em (-3,-2).
Juntando com a existência garantida pelo TVI (Passo 3), concluímos que existe exatamente uma raiz em (-3,-2).

Resposta

A função g(x)=8x^{3}+30x^{2}+24x+10 tem exatamente uma raiz no intervalo (-3,-2).

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