Mostre que
admite uma única raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede para mostrar que ele admite exatamente (ou única) raiz no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o polinômio
. - O intervalo a investigar é
. - Objetivo: provar existência de pelo menos uma raiz em
e provar que não há mais que uma (ou seja, existência + unicidade).
Passo 2
Primeiro passo: testar os sinais de
nas extremidades do intervalo para tentar garantir existência de raiz por mudança de sinal.
Calcular
:
Desenvolvendo passo a passo:
Somando:
Calcule por etapas:
,
,
. Logo
Calcular
:
Passo a passo:
Somando:
Calcule por etapas:
,
,
. Logo
Passo 3
Agora uso o teorema do valor intermediário (TVI) para garantir existência de raiz. Vou explicar rapidinho o que uso:
- Uma função polinomial é contínua em todo
. Isso significa que não tem saltos nem buracos. - O Teorema do Valor Intermediário diz: se uma função contínua
toma valores de sinais opostos em dois pontos e (isto é, ), então existe pelo menos um tal que .
Aplicando ao nosso caso: como
e
, temos
. Como
é contínua, o TVI garante a existência de pelo menos uma raiz
com
.
Passo 4
Agora prova da unicidade (ou seja, mostrar que não existem duas ou mais raízes dentro de
). Estrategia: mostrar que
é estritamente monótona no intervalo (por exemplo, estritamente crescente), o que implica que não pode ter mais de uma raiz ali.
Calcule a derivada
:
Factorizar para analisar o sinal:
Agora fatorizar o polinômio quadrático:
pois
. Portanto
Passo 5
Determinar o sinal de
para
.
Analisar os fatores em
:
- Para
temos (porque ). - Para
temos também (ex.: em , ; em , ; o termo é contínuo e permanece negativo no intervalo).
Logo
e
no intervalo. O produto
é então positivo (negativo vezes negativo é positivo). Multiplicando por
mantém-se positivo. Portanto
Isto mostra que
é estritamente crescente em
.
Passo 6
Concluir unicidade: uma função estritamente crescente só pode ter no máximo uma raiz em um intervalo convexo, porque se houvesse duas raízes
teria
e pela monotonicidade isso só é possível se a função fosse constante entre
e
, o que contradiz
. Assim
tem no máximo uma raiz em
.
Juntando com a existência garantida pelo TVI (Passo 3), concluímos que existe exatamente uma raiz em
.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz no intervalo
.