Esboce o gráfico da função
f(x, y)=6-3 x-2 y

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
f(x,y)=6-3x-2y
ou seja, a superfície em R^3 definida por
z = 6 - 3x - 2y
Para desenhar essa superfície, vamos usar o método clássico de achar as interseções com os eixos coordenados e, a partir delas, traçar o plano.

Passo 2

Para encontrar as interseções do plano com os eixos, basta anular duas variáveis de cada vez:
  1. Interseção com o eixo x:
    tomar y=0 e z=0 em
    0 = 6 - 3x - 2cdot0
    daí
    3x = 6 Longrightarrow x = 2
  2. Interseção com o eixo y:
    tomar x=0 e z=0 em
    0 = 6 - 3cdot0 - 2y
    daí
    2y = 6 Longrightarrow y = 3
  3. Interseção com o eixo z:
    tomar x=0 e y=0 em
    z = 6 - 3cdot0 - 2cdot0 Longrightarrow z = 6

Passo 3

Registrando os pontos de interseção:
A = (2,0,0), B = (0,3,0), C = (0,0,6)

Passo 4

O plano que passa por A, B e C também pode ser escrito na forma intercepto:
x2 + y3 + z6 = 1
Em forma geral ax+by+cz=d, temos
3x + 2y + 1z = 6,
logo o vetor normal é n = (3,2,1).

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os três eixos x, y e z.
  2. Marque os pontos A(2,0,0), B(0,3,0) e C(0,0,6).
  3. Una A B C formando a “base triangular” do plano.
  4. Estenda esse triângulo infinitamente em todas as direções, obtendo o plano completo.
O resultado é um plano inclinado que desce quando x ou y aumentam, interceptando os eixos nos pontos indicados.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=6-3x-2y é o plano
z = 6 - 3x - 2y,
que corta os eixos em (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6). Um esboço consiste em plotar esses três pontos no espaço e traçar o plano que os contém.

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