Esboce o gráfico da função.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+3 & \text { se } & x \leq-1 \\\\ 3-x & \text { se } & x>-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x\le -1,\\\\ 3-x, & x>-1. \end{cases}
O conteúdo é traçar retas definidas em domínios distintos e identificar pontos abertos e fechados.

Passo 2

Para o ramo \;x\le -1\;, temos a reta y=2x+3.
– A inclinação é m=2, isto é, sobe 2 unidades em y para cada 1 em x.
– O coeficiente linear é 3, então, por exemplo, em x=-1
f(-1)=2\cdot(-1)+3=1,
e neste ponto a função está definida (ponto fechado em (-1,1)).
– Para ter dois pontos do esboço, calcule também em x=-2:
f(-2)=2\cdot(-2)+3=-4+3=-1.

Passo 3

Para o ramo \;x>-1\;, temos a reta y=3-x.
– A inclinação é -1, desce 1 em y para cada 1 em x.
– O coeficiente linear é 3.
– Ao aproximar x\to -1^+ aparece
\lim_{x\to -1^+}f(x)=3-(-1)=4,
mas como nessa parte vale apenas x>-1, colocamos um ponto aberto em (-1,4).
– Escolhendo outro valor, por exemplo x=0, obtemos
f(0)=3-0=3,
para guiar o traço da reta.

Passo 4

Agora monte o esboço:
– Desenhe a reta y=2x+3 para x\le -1, passando pelos pontos (-2,-1) e (-1,1) com ponto preenchido em (-1,1).
– Desenhe a reta y=3-x para x>-1, passando pelo ponto aberto (-1,4) e por (0,3).
Dessa forma fica clara a descontinuidade de salto em x=-1.

Resposta

O gráfico é formado por duas retas:
  1. Reta de inclinação 2 e intercepto 3 para x\le -1, com ponto fechado em (-1,1).
  2. Reta de inclinação -1 e intercepto 3 para x>-1, com ponto aberto em (-1,4).
\begin{cases} \text{linha }y=2x+3,\;x\le -1\\ (\bullet\;(-1,1)),\\\ \text{linha }y=3-x,\;x>-1\\ (\circ\;(-1,4)). \end{cases}

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