Resolva a desigualdade em termos dos intervalos.
(2 x+3)(x-1) \ge 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade (2x+3)(x-1)\ge 0. Esse tipo de problema é de análise de sinal de produto de fatores lineares: precisamos achar as raízes, separar o eixo em intervalos e verificar o sinal de cada fator em cada intervalo.

Passo 2

As raízes vêm de cada fator zerar:
2x+3=0\implies x=-\tfrac32,
x-1=0\implies x=1.

Passo 3

O eixo real se divide em três intervalos pelos pontos -\tfrac32 e 1:
(-\infty,-\tfrac32),\quad (-\tfrac32,1),\quad (1,\infty).

Passo 4

Em cada intervalo examinamos o sinal de 2x+3 e de x-1:
  • Para x<-\tfrac32, por exemplo x=-2: 2x+3<0, x-1<0, produto >0.
  • Para -\tfrac32<x<1, por exemplo x=0: 2x+3>0, x-1<0, produto <0.
  • Para x>1, por exemplo x=2: 2x+3>0, x-1>0, produto >0.

Passo 5

Como queremos (2x+3)(x-1)\ge 0, aceitamos onde o produto é positivo e também os pontos onde zera. Logo,
x\in(-\infty,-\tfrac32]\cup[1,\infty).

Resposta

(-\infty,-\tfrac32]\cup[1,\infty)

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