Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
é impar,
para
,
para
para
,
para
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe (esboce) uma função
com as seguintes propriedades:
-
é ímpar. - Para
, (ou seja, decresce). - Para
, (ou seja, cresce). - Para
, (ou seja, é côncava para cima). - Para
, (ou seja, é côncava para baixo). -
.
Para resolver, vamos identificar pontos críticos, intervalos de concavidade e assimptota horizontal, e depois usar a simetria ímpar para traçar o lado negativo.
Passo 2
Como
em
e
em
, em
temos uma troca de sinal de
, logo
Além disso, em
a concavidade é para cima
, de modo que a curva desce convexa até
e depois já sobe convexa até
.
Passo 3
Em
a concavidade muda de para cima para para baixo
muda de positivo para negativo), indicando um ponto de inflexão em
. A partir de
a função sobe (pois
com concavidade para baixo, aproximando-se horizontalmente de
.
Passo 4
A assíntota horizontal
nos diz que à direita, para valores grandes de
, a curva tende a ficar cada vez mais próxima da reta
, vindO de baixo (já que ela está aumentando em
).
Passo 5
Como
é ímpar
, refletimos o desenho de
em relação à origem para obter o ramo em
. Em particular:
-
. - O que era mínimo em
vira um máximo em . - A inflexão em
vira inflexão em . - A assíntota
no lado positivo vira assíntota no lado negativo.
Resposta
Abaixo está um esboço qualitativo do gráfico de
. À direita de
vemos:
– De 0 a 2: curva decrescente e convexa, atingindo mínimo em
.
– De 2 a 3: curva crescente e convexa, inflexão em .
– Acima de 3: curva crescente e côncava para baixo, aproximando-se de .
– De 2 a 3: curva crescente e convexa, inflexão em
– Acima de 3: curva crescente e côncava para baixo, aproximando-se de
À esquerda de
, o gráfico é a reflexão ímpar (simetria pelo ponto
), aproximando-se de
em
.
y
↑
2 ──┤ (ramo ímpar)
│ .
│ / ⌒──────> assíntota y\(=2\)
│ /
1 ───┤ /
│ /
│ /
f\(=0\) ───┼─/─────────┬──────────
│/ \(0\to\) x
│\ •
│ \ / \
│ \ / \__ (convexa p/ cima até x\(=3\),
-2 ─┼──\────_/───────> depois côncava p/ baixo, assíntota y=-2)
│ \(123\)