Use o roteiro da Seçăo 4.5 para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva
O conteúdo aqui é esboço de funções polinomiais por meio de derivadas. Para resolver, vamos seguir o roteiro da Seção 4.5, isto é: identificar domínio, interceptos e simetria; estudar a monotonicidade com a derivada primeira; analisar concavidade e pontos de inflexão com a derivada segunda; verificar comportamento nos extremos (assíntotas ou fins de ramo); e, por fim, reunir tudo no esboço.
Passo 2
Domínio, interceptos e simetria:
– Como é um polinômio, o domínio é .
– Intercepto em : para
,
, logo o ponto
.
– Interceptos em : resolvemos
– Como é um polinômio, o domínio é
– Intercepto em
– Interceptos em
Por tentativa/numericamente, há uma única raiz real aproximadamente
. Logo o intercepto em
é
.
– Simetria: como nem nem
aparecem apenas em termos pares, não há paridade (nem função par nem ímpar).
– Simetria: como nem
Passo 3
Monotonicidade (derivada primeira):
Como
, temos
para todo
. Portanto
é sempre negativa e a função é estritamente decrescente em
. Não há extremos locais.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão (derivada segunda):
– Para
,
: concavidade para cima.
– Para ,
: concavidade para baixo.
– Em ,
e troca de concavidade, logo ponto de inflexão em
.
– Para
– Em
Passo 5
Comportamento nos extremos e assíntotas:
– Como é polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais.
– Fins de ramo: e
.
– Como é polinômio de grau 3, não há assíntotas verticais nem horizontais.
– Fins de ramo:
Passo 6
Reunindo tudo para o esboço:
– A curva é estritamente decrescente em toda reta.
– Em é côncava para cima, chega de
em
e vai diminuindo até o ponto de inflexão
.
– Em é côncava para baixo, cruza o eixo
em
e continua decrescendo até
.
– Pontos-chave: intercepto em em
, inflexão em
, intercepto em
em
.
– A curva é estritamente decrescente em toda reta.
– Em
– Em
– Pontos-chave: intercepto em
Resposta
O esboço da curva
é o de um polinômio cúbico decrescente em todo
, com ponto de inflexão em
, intercepto em
aproximadamente em
, sem extremos locais e sem assíntotas. A curva vem de
em
, passa por
com concavidade mudando de cima para baixo, cruza o eixo
em
e segue para
quando
.