Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f é impar, f^{\prime}(x)<0 para 0<x<2,
f^{\prime}(x)>0 para x>2, f^{\prime \prime}(x)>0 para 0<x<3,
f^{\prime \prime}(x)<0 para x>3, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-2

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe (esboce) uma função f com as seguintes propriedades:
  1. f é ímpar.
  2. Para 0<x<2, f'(x)<0 (ou seja, f decresce).
  3. Para x>2, f'(x)>0 (ou seja, f cresce).
  4. Para 0<x<3, f''(x)>0 (ou seja, f é côncava para cima).
  5. Para x>3, f''(x)<0 (ou seja, f é côncava para baixo).
  6. \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=-2.
Para resolver, vamos identificar pontos críticos, intervalos de concavidade e assimptota horizontal, e depois usar a simetria ímpar para traçar o lado negativo.

Passo 2

Como f'(x)<0 em (0,2) e f'(x)>0 em (2,\infty), em x=2 temos uma troca de sinal de f', logo
f'(2)=0 \quad\Longrightarrow\quad \text{\(x=2\) é ponto de mínimo local.}éí
Além disso, em (0,3) a concavidade é para cima f''>0, de modo que a curva desce convexa até x=2 e depois já sobe convexa até x=3.

Passo 3

Em x=3 a concavidade muda de para cima para para baixo f'' muda de positivo para negativo), indicando um ponto de inflexão em x=3. A partir de x=3 a função sobe (pois f'>0 com concavidade para baixo, aproximando-se horizontalmente de y=-2.

Passo 4

A assíntota horizontal \lim_{x\to\infty}f(x)=-2 nos diz que à direita, para valores grandes de x, a curva tende a ficar cada vez mais próxima da reta y=-2, vindO de baixo (já que ela está aumentando em x>2).

Passo 5

Como f é ímpar f(-x)=-f(x), refletimos o desenho de x>0 em relação à origem para obter o ramo em x<0. Em particular:
  • f(0)=0.
  • O que era mínimo em x=2 vira um máximo em x=-2.
  • A inflexão em x=3 vira inflexão em x=-3.
  • A assíntota y=-2 no lado positivo vira assíntota y=2 no lado negativo.

Resposta

Abaixo está um esboço qualitativo do gráfico de f. À direita de x=0 vemos:
– De 0 a 2: curva decrescente e convexa, atingindo mínimo em x=2.
– De 2 a 3: curva crescente e convexa, inflexão em x=3.
– Acima de 3: curva crescente e côncava para baixo, aproximando-se de y=-2.
À esquerda de x=0, o gráfico é a reflexão ímpar (simetria pelo ponto (0,0)), aproximando-se de y=2 em x\to -\infty.
 y
 ↑
 2 ──┤ (ramo ímpar)
 │ .
 │ / ⌒──────> assíntota y\(=2\)
 │ /
 1 ───┤ /
 │ /
 │ /
 f\(=0\) ───┼─/─────────┬──────────
 │/ \(0\to\) x
 │\ •
 │ \ / \
 │ \ / \__ (convexa p/ cima até x\(=3\),
 -2 ─┼──\────_/───────> depois côncava p/ baixo, assíntota y=-2)
 │ \(123\)

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