Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
e
para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se um esboço do gráfico de uma função que satisfaça, para todo
, e - Informação dada: as duas desigualdades valem para todo
(não apenas em pontos isolados). - Resumo do pedido em uma frase: desenhar (esboçar) uma função que seja estritamente decrescente em toda a reta e estritamente côncava para baixo em toda a reta.
Passo 2
Significado de
(explicação didática e intuitiva).
- A derivada
mede a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa . - A condição
para todo significa que em qualquer ponto do gráfico a inclinação da tangente é negativa: a função é estritamente decrescente em toda parte. - Consequência prática ao esboçar: ao deslocar-se para a direita no eixo
, o valor de sempre diminui; nunca há subidas.
Passo 3
Significado de
(explicação didática e intuitiva).
- A segunda derivada
mede a taxa de variação da inclinação (ou seja, se a inclinação está aumentando ou diminuindo). - A condição
para todo significa que a inclinação está sempre diminuindo quando vamos para a direita: a função é estritamente côncava para baixo em toda parte. - Intuição visual: tangentes em qualquer ponto ficam acima do gráfico localmente; o gráfico tem formato de “cúpula” local (como um teto curvado para baixo), sem pontos de inflexão.
Passo 4
Relação entre as duas condições e consequências combinadas.
- Como
e para todo , a inclinação é sempre negativa e, além disso, fica cada vez mais negativa ao avançar em . - Em particular: para
a inclinação pode tender a zero (de forma negativa) ou a um valor limitado negativo; para a inclinação tende a ou a um valor mais negativo. O que importa para o esboço é: sempre desce e a curvatura aponta para baixo.
Passo 5
Escolher um exemplo simples e verificável (escolha do método).
- Vamos escolher uma função simples cuja primeira e segunda derivadas sejam visivelmente negativas para todo
. Uma escolha natural é - Motivo da escolha: exponencial é simples, derivadas fáceis e as desigualdades ficam claras; além disso ela tem comportamento assintótico que facilita o esboço.
Passo 6
Verificação explícita das desigualdades para o exemplo escolhido.
- Calcular
e para :
- Para todo
temos , logo e - Conclusão:
satisfaz exatamente as duas condições pedidas.
Passo 7
Análise do comportamento da função escolhida para ajudar no esboço (pontos e assíntotas).
- Alguns valores úteis para plotar:
- Assíntota horizontal à medida que
: (ou seja, aproxima-se de por baixo). - Comportamento quando
: (cai rapidamente). - Inclinações (derivadas) nos mesmos pontos:
Isso mostra tangentes cada vez mais inclinadas negativamente conforme aumenta.
Passo 8
Como esboçar passo a passo na folha (instruções práticas).
- Desenhe os eixos
e . Marque o eixo para usar como referência de assíntota. - Marque e desenhe uma linha tracejada horizontal leve em
(para lembrar que o gráfico se aproxima de por baixo quando ). - Plote os pontos calculados:
, aproximadamente , . - Entre os pontos, desenhe uma curva suave que: (a) está sempre descendo ao mover-se para a direita; (b) tem curvatura voltada para baixo (tangentes acima da curva); (c) aproxima-se de
à esquerda e vai para à direita. - Opcional: desenhe pequenas retas tangentes nos pontos para conferir inclinações negativas (por exemplo, reta de inclinação
em ). Essas retas devem ficar acima do gráfico localmente, confirmando concavidade para baixo. - Finalize com um traço contínuo e suave, sem pontos de inflexão e sem trechos crescentes.
Passo 9
Outros exemplos e observações que podem ser úteis na prova.
- Outros exemplos que também funcionam (qualquer combinação que gere derivadas negativas duas vezes):
com (aqui e ). - Não serve, por exemplo,
porque (não estritamente negativo). - Não serve
porque muda de sinal; aí não é decrescente em toda a reta. - Dica para a prova: quando pedirem “uma função que satisfaça tais condições”, escolha uma função padrão com exponencial negativo ou uma combinação que garanta ambas derivadas negativas; então verifique derivadas explicitamente e descreva o esboço usando assíntotas e alguns pontos.
Resposta
Um esboço possível é o gráfico da função
: é estritamente decrescente e estritamente côncavo para baixo em toda a reta, aproxima-se de
por baixo quando
e cai para
quando
.