Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas.
f^{\prime}(x)<0 e f^{\prime \prime}(x)<0 para todo x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se um esboço do gráfico de uma função que satisfaça, para todo x, f'(x)<0e f''(x)<0.
  • Informação dada: as duas desigualdades valem para todo x (não apenas em pontos isolados).
  • Resumo do pedido em uma frase: desenhar (esboçar) uma função que seja estritamente decrescente em toda a reta e estritamente côncava para baixo em toda a reta.

Passo 2

Significado de f'(x)<0 (explicação didática e intuitiva).
  • A derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa x.
  • A condição f'(x)<0 para todo x significa que em qualquer ponto do gráfico a inclinação da tangente é negativa: a função é estritamente decrescente em toda parte.
  • Consequência prática ao esboçar: ao deslocar-se para a direita no eixo x, o valor de f(x) sempre diminui; nunca há subidas.

Passo 3

Significado de f''(x)<0 (explicação didática e intuitiva).
  • A segunda derivada f''(x) mede a taxa de variação da inclinação (ou seja, se a inclinação está aumentando ou diminuindo).
  • A condição f''(x)<0 para todo x significa que a inclinação está sempre diminuindo quando vamos para a direita: a função é estritamente côncava para baixo em toda parte.
  • Intuição visual: tangentes em qualquer ponto ficam acima do gráfico localmente; o gráfico tem formato de “cúpula” local (como um teto curvado para baixo), sem pontos de inflexão.

Passo 4

Relação entre as duas condições e consequências combinadas.
  • Como f'(x)<0 e f''(x)<0 para todo x, a inclinação é sempre negativa e, além disso, fica cada vez mais negativa ao avançar em x.
  • Em particular: para x\to -\infty a inclinação pode tender a zero (de forma negativa) ou a um valor limitado negativo; para x\to +\infty a inclinação tende a -\infty ou a um valor mais negativo. O que importa para o esboço é: sempre desce e a curvatura aponta para baixo.

Passo 5

Escolher um exemplo simples e verificável (escolha do método).
  • Vamos escolher uma função simples cuja primeira e segunda derivadas sejam visivelmente negativas para todo x. Uma escolha natural é f(x)=-e^{x}.
  • Motivo da escolha: exponencial é simples, derivadas fáceis e as desigualdades ficam claras; além disso ela tem comportamento assintótico que facilita o esboço.

Passo 6

Verificação explícita das desigualdades para o exemplo escolhido.
  • Calcular f'(x) e f''(x) para f(x)=-e^{x}: f'(x) = -e^{x},
f''(x) = -e^{x}.
  • Para todo x temos e^{x}>0, logo f'(x) = -e^{x} < 0e f''(x) = -e^{x} < 0.
  • Conclusão: f(x)=-e^{x} satisfaz exatamente as duas condições pedidas.

Passo 7

Análise do comportamento da função escolhida para ajudar no esboço (pontos e assíntotas).
  • Alguns valores úteis para plotar: f(0) = -e^{0} = -1,
f(1) = -e \approx -2{,}718,
f(-1) = -e^{-1} \approx -0{,}368.
  • Assíntota horizontal à medida que x\to -\infty: f(x)\to 0^{-} (ou seja, aproxima-se de y=0 por baixo).
  • Comportamento quando x\to +\infty: f(x)\to -\infty (cai rapidamente).
  • Inclinações (derivadas) nos mesmos pontos: f'(0)=-1,\quad f'(1)=-e\approx-2{,}718,\quad f'(-1)=-e^{-1}\approx-0{,}368.Isso mostra tangentes cada vez mais inclinadas negativamente conforme x aumenta.

Passo 8

Como esboçar passo a passo na folha (instruções práticas).
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque o eixo y=0 para usar como referência de assíntota.
  2. Marque e desenhe uma linha tracejada horizontal leve em y=0 (para lembrar que o gráfico se aproxima de 0 por baixo quando x\to -\infty).
  3. Plote os pontos calculados: (0,-1), (1,-e) aproximadamente (1,-2{,}7), (-1,-0{,}37).
  4. Entre os pontos, desenhe uma curva suave que: (a) está sempre descendo ao mover-se para a direita; (b) tem curvatura voltada para baixo (tangentes acima da curva); (c) aproxima-se de y=0 à esquerda e vai para -\infty à direita.
  5. Opcional: desenhe pequenas retas tangentes nos pontos para conferir inclinações negativas (por exemplo, reta de inclinação -1 em x=0). Essas retas devem ficar acima do gráfico localmente, confirmando concavidade para baixo.
  6. Finalize com um traço contínuo e suave, sem pontos de inflexão e sem trechos crescentes.

Passo 9

Outros exemplos e observações que podem ser úteis na prova.
  • Outros exemplos que também funcionam (qualquer combinação que gere derivadas negativas duas vezes): f(x)=-e^{ax} com a>0 (aqui f'(x)=-a e^{ax}<0 e f''(x)=-a^{2}e^{ax}<0).
  • Não serve, por exemplo, f(x)=-x porque f''(x)=0 (não estritamente negativo).
  • Não serve f(x)=-x^{2} porque f'(x)=-2x muda de sinal; aí não é decrescente em toda a reta.
  • Dica para a prova: quando pedirem “uma função que satisfaça tais condições”, escolha uma função padrão com exponencial negativo ou uma combinação que garanta ambas derivadas negativas; então verifique derivadas explicitamente e descreva o esboço usando assíntotas e alguns pontos.

Resposta

Um esboço possível é o gráfico da função f(x)=-e^{x}: é estritamente decrescente e estritamente côncavo para baixo em toda a reta, aproxima-se de y=0 por baixo quando x\to -\infty e cai para -\infty quando x\to +\infty.

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