Calcule os limites usando L’Hôpital
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Precisa-se usar o método de L’Hôpital para calcular o limite.
Passo 2
Primeiro reescrevemos o produto como uma fração para aplicar L’Hôpital:
Essa reescrita é só manipulação algebraica (multiplicando numerador e denominador por
ou reconhecendo que
).
Passo 3
Lembrete prático sobre o Teorema de L’Hôpital (versão para infinito): se temos duas funções diferenciáveis
e
em algum intervalo para
grande e
então, se o limite
existe (ou é
), vale
Em palavras: para formas do tipo
(ou
), podemos derivar numerador e denominador e calcular o novo limite.
Passo 4
Verificamos a forma indeterminada da fração obtida:
portanto a expressão
é do tipo
. Podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim
Passo 6
Agora avaliamos
. Para
temos
e
, logo o produto
. Portanto a recíproca tende a zero:
(Interpretando: a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência ou fator linear, então o denominador explode e a fração vai a zero.)
Passo 7
Concluímos, usando L’Hôpital e a avaliação final, que o limite original vale
Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e a técnica é sempre a mesma: transformar em fração e, se der
ou
, aplicar L’Hôpital.