Calcule os limites usando L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\ln x.
Informações dadas:
  • A função considerada é e^{-x}\ln x.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
  • Precisa-se usar o método de L’Hôpital para calcular o limite.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o produto como uma fração para aplicar L’Hôpital:
e^{-x}\ln x=\frac{\ln x}{e^{x}}.
Essa reescrita é só manipulação algebraica (multiplicando numerador e denominador por e^{x} ou reconhecendo que e^{-x}=1/e^{x}).

Passo 3

Lembrete prático sobre o Teorema de L’Hôpital (versão para infinito): se temos duas funções diferenciáveis f(x) e g(x) em algum intervalo para x grande e
\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to\infty} g(x)=\pm\infty,
então, se o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Em palavras: para formas do tipo \infty/\infty (ou 0/0), podemos derivar numerador e denominador e calcular o novo limite.

Passo 4

Verificamos a forma indeterminada da fração obtida:
\lim_{x\to\infty}\ln x = \infty,\qquad \lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty,
portanto a expressão \dfrac{\ln x}{e^{x}} é do tipo \infty/\infty. Podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x. A derivada de \ln x é 1/x e a derivada de e^{x} é e^{x}. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x e^{x}}.

Passo 6

Agora avaliamos \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x e^{x}}. Para x\to\infty temos e^{x}\to\infty e x\to\infty, logo o produto x e^{x}\to\infty. Portanto a recíproca tende a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x e^{x}}=0.
(Interpretando: a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência ou fator linear, então o denominador explode e a fração vai a zero.)

Passo 7

Concluímos, usando L’Hôpital e a avaliação final, que o limite original vale
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\ln x = 0.
Força aí — esse tipo de limite aparece muito em provas e a técnica é sempre a mesma: transformar em fração e, se der \infty/\infty ou 0/0, aplicar L’Hôpital.

Resposta

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