Esboce o gráfico das funções abaixo, determine
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
e, caso exista,
\lim _{x \rightarrow a} f(x)
:
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-x, x \geq 0 \\\\ -x, x<0 \end{array} \quad(a=0)\right..

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes e pede o esboço do gráfico e os limites laterais e total em a=0\). Os dados são: \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0, \end{cases}\qquad (a=0).
O que exatamente é pedido:
  • Esboçar o gráfico de f\]. - Calcular \(\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x).
    - Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x).
    - Determinar, caso exista, \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x).]

Passo 2

Pequena revisão rápida sobre limites laterais (para lembrar sem pânico):
  • A definição intuitiva: \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x) é o valor ao qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de 0 por valores menores (ou seja, por x<0).
  • Analogamente, \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x) é o valor quando x tende a 0 por valores maiores (ou seja, por x>0).
    Para funções definidas por partes, cada limite lateral é calculado usando a expressão que vale naquela vizinhança: para x<0 uso f(x)=-x; para x\ge 0 uso f(x)=x^{2}-x.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x). Aqui usamos a expressão válida para x<0:
f(x)=-x\quad\text{quando }x<0.
Então, ao fazermos x\to 0^{-} (ou seja x é negativo e muito próximo de 0),
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}} (-x)=0.
Raciocínio simples: se x tende a 0, -x também tende a 0. Por exemplo, para x=-0,1 tem-se f(x)=0,1; para x=-0,01 tem-se f(x)=0,01; aproxima-se de 0.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x). Agora usamos a expressão para x\ge 0:
f(x)=x^{2}-x = x(x-1)\quad\text{quando }x\ge 0.
Ao fazermos x\to 0^{+} (valores positivos próximos de 0),
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} (x^{2}-x)=0^{2}-0=0.
Explicando: ambas as parcelas x^{2} e x vão para 0, logo a diferença também vai para 0.

Passo 5

Conclusão sobre o limite total \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x). Para que o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) exista, os limites laterais devem ser iguais. Encontramos:
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=0.
Como ambos são iguais a 0, então
\lim_{x\to 0} f(x)=0.

Passo 6

Comentário sobre o valor da função em 0 e continuidade (útil para prova): pela definição da função, para x\ge 0 vale f(0)=0^{2}-0=0. Portanto o valor da função em 0 coincide com o limite \lim_{x\to 0} f(x), logo f é contínua em x=0. Observação extra (não exigida, mas curiosa): as derivadas laterais também coincidem ( f'(0^{-})=-1 e f'(0^{+})=2\cdot 0-1=-1), então f é diferenciável em 0, mas isso não era pedido.

Passo 7

Instruções para esboçar o gráfico (passo a passo, sem desenhar aqui):
  1. Para x<0: desenhar a reta y=-x restrita ao lado esquerdo. Essa reta passa pela origem se estendida, mas como a definição para x<0 não inclui x=0, desenhar nessa parte uma pequena porção da reta para x<0 e colocar um círculo aberto em (0,0) para indicar que esse ponto não pertence a esse ramo. Exemplos de pontos: (-1,1), (-0,5,0,5).
  2. Para x\ge 0: desenhar a parábola y=x^{2}-x apenas para x\ge 0. Essa parábola tem raízes em x=0 e x=1, vértice em x=\tfrac{1}{2} com valor y=-\tfrac{1}{4} (isto é, -0,25). No ponto (0,0) colocar um ponto preenchido porque a definição para x\ge 0 inclui x=0 e f(0)=0. Para x pequeno e positivo a parábola desce inicialmente (pois a derivada em 0^{+} é -1), atinge o vértice em x=0,5 e depois sobe.
  3. O gráfico resultante é contínuo em (0,0) — apesar do ramo esquerdo ter um círculo aberto, o ponto preenchido da parábola ocupa exatamente (0,0) e faz a junção suave dos dois ramos.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0
\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=0
\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=0

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