Esboce o gráfico das funções abaixo, determine
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
e, caso exista,
\lim _{x \rightarrow a} f(x)
:
f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-1, x \geq 1 \text { e } x \neq 2 \\\\ 1, x=2 \\\\ 1-x, x<1 \end{array} \quad(a=2)\right..

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas ao ponto a=2\): - Esboçar o gráfico da função \(f\) dada por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & x\geq 1 \text{ e } x\neq 2,\\[4pt] 1, & x=2,\\[4pt] 1-x, & x<1, \end{cases}
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)\], - Calcular \(\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x),
    - E, caso exista, calcular \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1 temos a fórmula f(x)=1-x (reta).
  • Para x\geq 1 (exceto em x=2) temos f(x)=x^{2}-1 (parábola).
  • No ponto x=2 a função é definida explicitamente como f(2)=1 (valor especial, diferente da regra da parábola).
  • O ponto de interesse onde vamos analisar limites e o esboço é a=2.]

Passo 2

Entender cada ramo e os pontos-chave (isso é importante para esboçar e para saber qual expressão usar ao aproximar x de 2).
  • Ramo 1 (esquerda): para x<1,
    f(x)=1-x.
    Isso é uma reta com inclinação -1 e intercepto em y=1. Não afeta diretamente o comportamento perto de x=2 porque esse ramo só vale até x<1.
  • Ramo 2 (direita/centro): para x\geq 1 e x\neq 2,
    f(x)=x^{2}-1.
    É a parábola usual deslocada para baixo de 1. Esse ramo vale para todos os x maiores ou iguais a 1, exceto que em x=2 a regra é substituída por um valor especial.
  • Ponto isolado: em x=2 temos
    f(2)=1.
    Ou seja, embora a expressão da parábola na vizinhança de 2 seja x^{2}-1, nesse ponto a função toma o valor 1.
Pontos importantes a calcular para o esboço:
  • Valor da parábola em x=1: \,1^{2}-1=0.
  • Valor da reta em x\to 1^{-}: \,1-1=0. Logo a função é contínua em x=1 (os dois ramos coincidem em 0 aí).
  • Valor da parábola em x=2 (se a parábola fosse aplicada em 2): \,2^{2}-1=3. Mas o valor real f(2) é 1. Então haverá um “furo” na parábola em (2,3) e um ponto preenchido em (2,1).

Passo 3

Como esboçar o gráfico — instruções passo a passo (faça no papel seguindo estes pontos; isso ajuda a ver os limites):
  1. Para x<1: desenhe a reta y=1-x. Ela passa por (0,1) e aproxima-se de (1,0) quando x\to 1^{-}. Marque um ponto sólido em (1,0) porque o ramo da parábola também dá 0 em x=1.
  2. Para x\geq 1 e x\neq 2: desenhe a parábola y=x^{2}-1 a partir de x=1 para a direita. Em x=1 a parábola tem y=0. Em x=2 a parábola teria y=3, mas coloque um círculo aberto (furo) em (2,3) para indicar que nesse ponto a fórmula não é aplicada.
  3. Em x=2: desenhe um ponto sólido em (2,1) porque foi dado f(2)=1. Assim o gráfico terá um furo na parábola em (2,3) e um ponto isolado em (2,1).
  4. Continue a parábola para x>2 normalmente (sem conectar ao ponto (2,1)), porque a lei da função para x>2 é x^{2}-1.
Observação: em x=1 a transição é suave (continuidade), em x=2 há uma descontinuidade do tipo removível (explico melhor adiante).

Passo 4

Conceito rápido e útil sobre limites laterais (prática para prova):
  • \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x chega a a vindo da esquerda (valores menores que a).
  • \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x) é o valor quando x chega a a vindo da direita (valores maiores que a).
  • Se ambos existem e são iguais, então \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a esse valor comum.
    Na prática, para funções definidas por expressões elementares (reta, polinômio, etc.), a técnica é: identificar qual ramo vale para x na vizinhança esquerda e direita de a e avaliar o limite usando essa expressão (para polinômios e retas basta substituir x=a porque são contínuos).

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) (aproximação pela esquerda de 2).
  • Quando x\to 2^{-} temos x<2. Como 2>1, os x que se aproximam de 2 pela esquerda ainda satisfazem x\ge 1. Portanto, na vizinhança à esquerda de 2 a expressão aplicável é a da parábola: f(x)=x^{2}-1.
  • Como polinômios são funções contínuas, o limite ao aproximar x de 2 é obtido substituindo x=2 na expressão: \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (x^{2}-1)=2^{2}-1=3.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x) (aproximação pela direita de 2).
  • Para x\to 2^{+} temos x>2, e esses x também satisfazem x\ge 1. Logo, de novo a expressão aplicável é f(x)=x^{2}-1.
  • Avaliando por continuidade: \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim_{x\to 2^{+}} (x^{2}-1)=2^{2}-1=3.

Passo 7

Determinar \displaystyle \lim_{x\to 2} f(x) e comentar sobre continuidade.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3 e \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=3, os limites laterais coincidem.
  • Portanto o limite total existe e \lim_{x\to 2} f(x)=3.
  • Entretanto o valor da função no ponto é f(2)=1, que é diferente de 3. Isso significa que f é descontínua em x=2. Como o limite existe mas difere do valor da função, essa descontinuidade é do tipo removível (bastaria redefinir f(2):=3 para tornar a função contínua naquele ponto).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=3
\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=3
\displaystyle \lim_{x\to 2} f(x)=3

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