Esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
Isso é a função Seno Integral (Si), que envolve: 1) cálculo de derivada pela regra do cálculo de integrais dependentes de limite; 2) análise de monotonicidade e pontos críticos via o sinal de
; 3) comportamento perto de
e para
; 4) simetria da função.
Passo 2
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é
Logo, a monotonicidade de
depende do sinal de
: onde
,
e
cresce; onde
,
e
decresce. Os zeros de
ocorrem quando
, i.e.
.
Passo 3
Perto de
, podemos usar a expansão
, de modo que
e portanto
Isso mostra que
e
para valores pequenos de
, passando pela origem com inclinação
.
Passo 4
Para
a integral imprópria converge ao valor conhecido
e para
vale
. Assim, há assíntotas horizontais em
e o gráfico apresenta oscilações amortecidas ao redor dessas retas.
Passo 5
Como a função integrando é ímpar (
), temos
o que implica que o gráfico é simétrico ímpar em relação à origem.
Passo 6
Juntando tudo, o esboço faz: passa na origem, cresce até
, atinge um primeiro pico acima de
, depois decresce até um vale em
, e assim por diante, com amplitude decrescente e horizontais assíntotas em
.
Passo 7
Para
basta refletir o ramo positivo, garantindo a simetria ímpar.
Resposta
O gráfico de
é a curva Si(x): passa pela origem com inclinação 1, oscila em torno de
para
e de
para
, com oscilações de amplitude decrescente e zeros em
.