Esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=integral0^x sen tt d t

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
f(x)=integral0^xsin tt,dt
Isso é a função Seno Integral (Si), que envolve: 1) cálculo de derivada pela regra do cálculo de integrais dependentes de limite; 2) análise de monotonicidade e pontos críticos via o sinal de f'(x); 3) comportamento perto de x=0 e para xtopminfty; 4) simetria da função.

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é
f'(x)=sin xx.
Logo, a monotonicidade de f depende do sinal de sin x: onde sin x>0, f'!>0 e f cresce; onde sin x<0, f'!<0 e f decresce. Os zeros de f' ocorrem quando sin x=0, i.e. x=npi.

Passo 3

Perto de x=0, podemos usar a expansão sin tapprox t - t^3/6+cdots, de modo que
sin ttapprox1 - t^26+cdots
e portanto
f(x)=integral0^xl(1 - tfract^26+cdotsr)dtapprox x - tfracx^318+cdots
Isso mostra que f(0)=0 e f(x)sim x para valores pequenos de x, passando pela origem com inclinação f'(0)=1.

Passo 4

Para xto+infty a integral imprópria converge ao valor conhecido
limxto+inftyf(x)=integral0^inftysin ttdt=pi2
e para xto-infty vale f(x)to-pi/2. Assim, há assíntotas horizontais em y=pmpi/2 e o gráfico apresenta oscilações amortecidas ao redor dessas retas.

Passo 5

Como a função integrando é ímpar ( sin(-t)/( -t)=sin t/t), temos
f(-x)=-f(x),
o que implica que o gráfico é simétrico ímpar em relação à origem.

Passo 6

Juntando tudo, o esboço faz: passa na origem, cresce até x=pi, atinge um primeiro pico acima de pi/2, depois decresce até um vale em x=2pi, e assim por diante, com amplitude decrescente e horizontais assíntotas em y=pmpi/2.

Passo 7

Para x<0 basta refletir o ramo positivo, garantindo a simetria ímpar.

Resposta

O gráfico de f(x)=integral0^xsin ttdt é a curva Si(x): passa pela origem com inclinação 1, oscila em torno de y=pi/2 para x>0 e de y=-pi/2 para x<0, com oscilações de amplitude decrescente e zeros em x=npi.

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