Esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdos necessários: a gente quer desenhar o gráfico de
f(x)=\int_{0}{x}e{-t^{2}},dt
Essa função é definida por integral, mas para estudar a forma do gráfico é mais simples usar o Teorema Fundamental do Cálculo, analisando derivada, sinal, limites e concavidade.
f(x)=\int_{0}{x}e{-t^{2}},dt
Essa função é definida por integral, mas para estudar a forma do gráfico é mais simples usar o Teorema Fundamental do Cálculo, analisando derivada, sinal, limites e concavidade.
Passo 2
Cálculo da derivada e monotonicidade: aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo,
f’(x)=e{-x{2}}
Como e{-x{2}}>0 para todo x, concluímos que f é estritamente crescente em R.
f’(x)=e{-x{2}}
Como e{-x{2}}>0 para todo x, concluímos que f é estritamente crescente em R.
Passo 3
Avaliação em pontos e simetria: em x=0 temos
f(0)=\int_{0}{0}e{-t^{2}}dt=0
Além disso, pela paridade de e{-t{2}} (é função par), a integral satisfaz f(-x)=-f(x), logo f é ímpar.
f(0)=\int_{0}{0}e{-t^{2}}dt=0
Além disso, pela paridade de e{-t{2}} (é função par), a integral satisfaz f(-x)=-f(x), logo f é ímpar.
Passo 4
Limites no infinito: sabemos que
\int_{0}{+\infty}e{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
e, por simetria, \int_{0}{-\infty}e{-t^{2}}dt=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}
Assim,
lim_{x\to+\infty}f(x)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2},
lim_{x\to-\infty}f(x)=-\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
\int_{0}{+\infty}e{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
e, por simetria, \int_{0}{-\infty}e{-t^{2}}dt=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}
Assim,
lim_{x\to+\infty}f(x)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2},
lim_{x\to-\infty}f(x)=-\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
Passo 5
Análise de concavidade e ponto de inflexão: f’’(x)=\frac{d}{dx}e{-x{2}}=-2x e{-x{2}}
Para x<0, f’’(x)>0 (concavidade para cima); para x>0, f’’(x)<0 (concavidade para baixo). O ponto x=0 é ponto de inflexão.
Para x<0, f’’(x)>0 (concavidade para cima); para x>0, f’’(x)<0 (concavidade para baixo). O ponto x=0 é ponto de inflexão.
Passo 6
Esboço do gráfico: com todas essas informações, desenhamos uma curva suave que passa pela origem, cresce de forma quase linear próximo a zero, depois vai se achatando ao se aproximar de y=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2} para x→+∞ e de y=-\tfrac{\sqrt{\pi}}{2} para x→-∞. É uma curva em formato de “S” ímpar e estritamente crescente.
Resposta
O gráfico de f(x)=\int_{0}{x}e{-t^{2}}dt é uma curva suave, estritamente crescente, ímpar, com f(0)=0, limites f(±∞)=±\tfrac{\sqrt{\pi}}{2} e ponto de inflexão em x=0, apresentando concavidade para cima em x<0 e para baixo em x>0.