Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
mostrando suas assíntotas. O conteúdo envolve estudo de funções racionais, identificação de domínio, assíntotas verticais e horizontais, interceptos, comportamento de sinal e pontos-chave para orientar o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio: a função está definida para
logo
Passo 3
Assíntota vertical: como
há assíntota vertical em
Passo 4
Assíntota horizontal: como
há assíntota horizontal em
Passo 5
Interceptos:
- Em
: para , ponto . - Em
: resolver não tem solução, logo não há intercepto em .
Passo 6
Sinal e monotonia:
- Se
, então . - Se
, então .
A derivada
em cada intervalo, mostra que a função é decrescente em
e em
.
Passo 7
Pontos auxiliares:
Eles ajudam a posicionar os ramos.
Passo 8
Esboço do gráfico:
É uma hipérbole equilátera deslocada 1 unidade à direita, com dois ramos:
É uma hipérbole equilátera deslocada 1 unidade à direita, com dois ramos:
- No ramo para
: passa por e se aproxima de e . - No ramo para
: passa por e , aproximando-se das mesmas retas.
Resposta
Assíntotas:
O gráfico é uma hipérbole com dois ramos, um no quadrante I em
e outro no quadrante III em
, conforme descrito acima.