Esboce o gráfico das funções abaixo, mostrando suas assíntotas.
y=1x-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
y = 1x-1
mostrando suas assíntotas. O conteúdo envolve estudo de funções racionais, identificação de domínio, assíntotas verticais e horizontais, interceptos, comportamento de sinal e pontos-chave para orientar o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio: a função está definida para
x-1 neq 0
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Domínio = ,xinRmid xneq1 í

Passo 3

Assíntota vertical: como
limxto1^-1x-1 = -infty e limxto1^+1x-1 = +infty,
há assíntota vertical em
x = 1

Passo 4

Assíntota horizontal: como
limxtopminfty1x-1 = 0,
há assíntota horizontal em
y = 0

Passo 5

Interceptos:
  • Em y: para x=0, y = 10-1 = -1, ponto (0,-1).
  • Em x: resolver 1x-1=0 não tem solução, logo não há intercepto em x.

Passo 6

Sinal e monotonia:
  • Se x>1, então x-1>0implies y>0.
  • Se x<1, então x-1<0implies y<0.
    A derivada
f'(x) = -1(x-1)^2 < 0
em cada intervalo, mostra que a função é decrescente em (-infty,1) e em (1,infty).

Passo 7

Pontos auxiliares:
x=2Rightarrow y=1, x=3Rightarrow y=tfrac12, x=-1Rightarrow y=-tfrac12
Eles ajudam a posicionar os ramos.

Passo 8

Esboço do gráfico:
É uma hipérbole equilátera deslocada 1 unidade à direita, com dois ramos:
  • No ramo para x>1: passa por (2,1) e se aproxima de x=1 e y=0.
  • No ramo para x<1: passa por (0,-1) e (-1,-tfrac12), aproximando-se das mesmas retas.

Resposta

Assíntotas:
x = 1 (vertical) y = 0 (horizontal)
O gráfico é uma hipérbole com dois ramos, um no quadrante I em (1,infty) e outro no quadrante III em (-infty,1), conforme descrito acima.

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