Esboce o gráfico das funções. Determine o intervalo onde a função é crescente (e decrescente) e sua imagem::
f(x)=-3 x^2+6 x-5

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função quadrática
f(x) = -3x^2 + 6x - 5
Determinar onde ela é crescente e decrescente e encontrar sua imagem. O conteúdo é função do segundo grau (parábola), usaremos derivada para achar monotonia e coordenadas do vértice.

Passo 2

Calcular a derivada de f e achar o ponto crítico:
f'(x) = ddxl(-3x^2+6x-5r) = -6x + 6
Resolvendo f'(x)=0 obtemos
-6x + 6 = 0 Longrightarrow x = 1
Como f'(x)>0 para x<1 e f'(x)<0 para x>1, concluímos que f é crescente em (-infty,1) e decrescente em (1,infty).

Passo 3

Encontrar o vértice e um ponto adicional para esboço. A abscissa do vértice é xv=1. Substituindo em f:
f(1) = -3cdot1^2 + 6cdot1 - 5 = -2
Logo, o vértice é (1,-2). O intercepto em y é
f(0) = -5,
ou seja, passa por (0,-5). A parábola abre para baixo (coeficiente de x^2 negativo).

Passo 4

Verificar existência de raízes reais: o discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = 6^2 - 4cdot(-3)cdot(-5) = 36 - 60 = -24 < 0,
logo não há zeros reais e o gráfico nunca cruza o eixo x.

Passo 5

Como a parábola abre para baixo, o valor máximo de f é -2 (no vértice) e para |x|toinfty temos f(x)to-infty. Assim a imagem de f é
Im(f) = (-infty, -2]

Resposta

A função é crescente em (-infty,1).\n
A função é decrescente em (1,infty).\n
A imagem de f é (-infty,-2].

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