A integral
integral duplaR(x^2+x y-2) d A
em que R é a região delimitada pelas curvas x=0, y=1 e y=x, é igual a

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaRl(x^2+x y-2r),dA
onde R é a região limitada pelas retas x=0, y=1 e y=x. O conteúdo é integral dupla em uma região triangular, e vamos precisar escolher a ordem de integração e avaliar passo a passo.

Passo 2

Para descrever R, note que as três retas se intersectam nos pontos (0,0), (0,1) e (1,1), formando um triângulo no qual
0 <= x <= 1, x <= y <= 1
Assim podemos escrever
integral duplaRl(x^2+xy-2r),dA = integralx=0^1!l(integraly=x^1l(x^2+xy-2r),dyr),dx

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^1l(x^2+xy-2r),dy = l[x^2y+x,y^22-2yr]y=x^y=1 = l(x^2+tfracx2-2r) - l(x^3+tfracx^32-2xr)
= -32x^3+x^2+52x-2

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(-32x^3+x^2+52x-2r),dx = l[-38x^4+x^33+54x^2-2xr]0^1 = -1924

Resposta

-tfrac1924

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