Esboce o grafico das funções exponenciais e determine o domínio e a imagem das funções abaixo.
f(x)=2^{x}+3.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função exponencial
f(x) = 2^x + 3
e determinar seu domínio e imagem. Aqui o conteúdo é transformação de gráficos de funções exponenciais: começamos com y=2^x e aplicamos uma translação vertical de +3.

Passo 2

Lembrando a função básica g(x)=2^x:
– O domínio de g é todos os reais, isto é,
\mathrm{Dom}\,g = (-\infty,\infty).
– A imagem de g é (0,\infty), pois 2^x nunca atinge zero nem fica negativa.
– O gráfico de g é crescente, com assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Agora vamos para
f(x) = 2^x + 3.
Isso equivale a pegar o gráfico de g(x)=2^x e elevar cada valor em 3 unidades no eixo y.
– A assíntota horizontal, antes em y=0, passa para y=3.
– Como a translação vertical não muda domínio,
\mathrm{Dom}\,f = (-\infty,\infty).
– A imagem sobe em 3 unidades, indo de (0,\infty) para
\mathrm{Im}\,f = (3,\infty).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, escolhemos alguns pontos-chave:
\begin{aligned} x=-2:&\quad f(-2)=2^{-2}+3=\tfrac14+3=3{,}25,\\\ x=-1:&\quad f(-1)=2^{-1}+3=\tfrac12+3=3{,}5,\\\ x=0:&\quad f(0)=2^0+3=1+3=4,\\\ x=1:&\quad f(1)=2+3=5,\\\ x=2:&\quad f(2)=4+3=7. \end{aligned}
Desenhamos uma curva crescente que passa por esses pontos e se aproxima de y=3 quando x\to -\infty, subindo sem limite quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (3,\infty)

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