Esboce o grafico das funções exponenciais e determine o domínio e a imagem das funções abaixo.
f(x)=2^{x}-3.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=2^{x}-3
e determinar seu domínio e sua imagem. O conteúdo que vamos usar é o comportamento da função exponencial básica g(x)=2^x e o efeito de uma translação vertical.

Passo 2

Começamos por lembrar a forma de g(x)=2^x:
  • Domínio de g é \mathbb{R}.
  • Imagem de g é (0,\infty).
  • Gráfico crescente, passando por (0,1) e (1,2), com assíntota horizontal y=0.

Passo 3

Agora, f(x)=2^x-3 é justamente g(x) deslocada para baixo em 3 unidades.
  • A assíntota de g, que era y=0, vira y=-3.
  • O ponto (0,1) de g passa a \bigl(0,1-3\bigr)=(0,-2).
  • O ponto (1,2) de g passa a (1,-1).
    Esboçando, temos uma curva crescente que se aproxima de y=-3 quando x\to-\infty e sobe sem limite quando x\to+\infty.

Passo 4

Para determinar domínio e imagem de f, usamos:
  • Qualquer exponencial 2^x está definida para todo x\in\mathbb{R}, e a subtração de 3 não muda o domínio.
  • Como 2^x>0 para todo x, segue que 2^x-3>-3.
Logo o domínio é \mathbb{R} e a imagem é o intervalo aberto (-3,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-3,\infty)
Gráfico: curva exponencial crescente, assíntota y=-3, passando por (0,-2) e (1,-1).

Exercícios relacionados