Resolva as equações Exponenciais:
2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3}=120.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3}=120.
O conteúdo principal é manipulação de potências de mesma base e fatoração de um termo comum para simplificar a soma.

Passo 2

Observamos que todos os termos têm a base 2 elevada a uma potência que difere em inteiros. Podemos fatorar o menor expoente, que é x-1, em todos os termos:
2^{x-1}+2^{x}+2^{x+1}-2^{x+2}+2^{x+3} =2^{x-1}\bigl(1+2+2^2-2^3+2^4\bigr).

Passo 3

Calculemos o valor dentro do parêntese:
1+2+2^2-2^3+2^4 =1+2+4-8+16 =15.
Logo a equação fica
2^{x-1}\cdot 15 = 120.

Passo 4

Isolando 2^{x-1}, temos
2^{x-1} = \frac{120}{15} = 8.
Como 8 = 2^3, igualamos expoentes:
x - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Resposta

x = 4

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