Esboce o gráfico das funções. Indique o domínio, o conjunto imagem, o eixo de simetria, a interseç̧ão com os eixos e o ponto de máximo ou de mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função $ f(x) = 4x - 1 - 4x^{2} $. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções quadráticas, como domínio, imagem, eixo de simetria, interseções com os eixos e pontos de máximo ou mínimo. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que temos aqui. A função $ f(x) = 4x - 1 - 4x^{2} $ é uma função do segundo grau, também conhecida como função quadrática. A forma geral de uma função quadrática é $ f(x) = ax^{2} + bx + c $. No nosso caso, $ a = -4 $, $ b = 4 $ e $ c = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função pode assumir. Como não temos nenhuma restrição (como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo), o domínio é todos os números reais. Em notação matemática:
Passo 4
Em seguida, o conjunto imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x) $. Como a parábola aberta para baixo (porque $ a = -4 $ é negativo), existe um valor máximo. Então, o conjunto imagem vai desde $ -\infty $ até o valor máximo da função. Vamos encontrar esse valor máximo mais adiante.
Passo 5
Vamos encontrar o eixo de simetria da parábola. O eixo de simetria de uma função quadrática está na linha $ x = -\frac{b}{2a} $. Substituindo os valores que temos:
Então, o eixo de simetria é a linha vertical que passa por $ x = \frac{1}{2} $.
Passo 6
Agora, vamos achar as interseções com os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo $ y $ acontece quando $ x = 0 $:
Então, a interseção com o eixo $ y $ é no ponto $ (0, -1) $.
Para encontrar as interseções com o eixo $ x $, resolvemos $ f(x) = 0 $:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, a parábola toca o eixo $ x $ no ponto $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $.
Passo 7
Vamos encontrar o ponto de máximo da função. Sabemos que o eixo de simetria é $ x = \frac{1}{2} $. Para encontrar o valor máximo, substituímos $ x = \frac{1}{2} $ na função:
Então, o ponto de máximo é $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Sabemos que a parábola está aberta para baixo, tem seu vértice no $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $, cruza o eixo $ y $ em $ (0, -1) $ e toca o eixo $ x $ também em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $.
Resposta
A função $ f(x) = 4x - 1 - 4x^{2} $ tem domínio $ \mathbb{R} $, conjunto imagem $ (-\infty, 0] $, eixo de simetria em $ x = \frac{1}{2} $, interseção com o eixo $ y $ em $ (0, -1) $ e com o eixo $ x $ em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $. O ponto de máximo é $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $.