Calcule as integrais indefinidas a seguir.
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi3 sin x,cos^2x,dx
O conteúdo principal é a técnica de substituição de variável para integrar o produto sin xcos^2x.

Passo 2

Fazemos a substituição u=cos x. Então
du=-sin x,dxRightarrow sin x,dx=-du
Substituindo no integrando:
integral sin xcos^2x,dx=integral u^2(-du)=-integral u^2,du

Passo 3

Agora integramos em u:
-integral u^2,du=-u^33+C
Voltando para x:
-u^33=-cos^3x3+C

Passo 4

Como queremos a integral de 0 até tfracpi3, aplicamos os limites:
I=l[-tfraccos^3x3r]0^tfracpi3=-13l(cos^3(tfracpi3)-cos^3(0)r)

Passo 5

Calculamos os valores:
cosl(tfracpi3r)=tfrac12,,cos(0)=1
Logo:
I=-13l(l(tfrac12r)^3-1r)=-13l(tfrac18-1r)=-13l(-tfrac78r)=724

Resposta

724

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