Sejam u (2,1,3) e a (4,1,2). Encontre o componente vetorial de u ao longo de a e o componente vetorial de u ortogonal a a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: u = (2,1,3) e a = (4,1,2). Precisamos encontrar duas coisas:
  1. O componente vetorial de u ao longo de a, que basicamente é a parte de u que está na mesma direção de a.
  2. O componente vetorial de u ortogonal a a, que é a parte de u que está perpendicular a a.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e decomposição vetorial.

Passo 2

Vamos começar encontrando o componente de u ao longo de a. Isso é chamado de projeção de u em a, e a fórmula para isso é:
proja u = ( u cdot a|a|^2 ) a
Onde:
  • u cdot a é o produto escalar de u e a.
  • |a| é a magnitude (ou comprimento) do vetor a.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot a:
u cdot a = (2)(4) + (1)(1) + (3)(2) = 8 + 1 + 6 = 15

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude de a:
|a| = raiz4^2 + 1^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21
Então, |a|^2 = 21.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
proja u = ( 1521 ) a = ( 57 ) a
Então, multiplicamos a por 57:
proja u = ( 57 ) (4,1,2) = ( 207, 57, 107 )

Passo 6

Agora, para encontrar o componente de u ortogonal a a, subtraímos a projeção de u em a de u:
uperp = u - proja u = (2,1,3) - ( 207, 57, 107 )
Fazendo a subtração componente a componente:
uperp = ( 2 - 207, 1 - 57, 3 - 107 ) = ( 147 - 207, 77 - 57, 217 - 107 ) = ( -67, 27, 117 )

Resposta

  • Componente vetorial de u ao longo de a: ( dfrac207, dfrac57, dfrac107 )
  • Componente vetorial de u ortogonal a a: ( -dfrac67, dfrac27, dfrac117 )

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