Esboce o gráfico das funções nos itens abaixo indicando, se existirem, as raízes REAIS e AS INTERSECÇÕES com o eixo y.
f(x)=x^{5}-3

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função f(x)=x^{5}-3 e indique, se existirem, as raízes REAIS e as intersecções com o eixo y.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{5}-3. Não há outras figuras ou dados adicionais.

Passo 2

Entender o que pedem exatamente:
  • “Raízes reais” significa resolver f(x)=0, ou seja achar x tal que x^{5}-3=0. Essas são as interseções do gráfico com o eixo x.
  • "Intersecção com o eixo y" significa calcular f(0), o ponto onde a curva cruza o eixo vertical.

Passo 3

Comportamento para extremos (end behavior) — por que isso importa para o esboço:
  • O termo de maior grau é x^{5}. O grau é ímpar e o coeficiente líder é positivo (1). Para polinômios isso implica:
    • quando x\to+\infty, temos f(x)\to+\infty;
    • quando x\to-\infty, temos f(x)\to-\infty.
      Isto nos diz que a curva vem de baixo à esquerda e sai para cima à direita.

Passo 4

Procurando raízes: resolver x^{5}-3=0.
  • Isolando: x^{5}=3.
  • Portanto a raiz real é x=3^{1/5}.
    Não há outras raízes reais porque uma equação do tipo x^{5}=c tem exatamente uma solução real (as demais seriam complexas no caso de c\neq0), e também porque a função será monotônica (veja próximo passo).

Passo 5

Mostrar que existe exatamente uma raiz real usando monotonicidade:
  • Derivada: f'(x)=5x^{4}.
  • Observação: 5x^{4}\ge 0 para todo x, e 5x^{4}>0 para todo x\neq 0. Isso significa que f é crescente em toda reta, com uma possível “achatada” em x=0.
  • Como f é crescente, só pode cruzar o eixo x uma vez. Logo a única raiz real é x=3^{1/5}.

Passo 6

Intersecção com o eixo y:
  • Basta calcular f(0).
  • Temos f(0)=0^{5}-3=-3.
  • Logo a intersecção com o eixo y é o ponto (0,-3).

Passo 7

Comportamento local em x=0 — informação útil para o desenho:
  • f'(0)=5\cdot 0^{4}=0, então no ponto (0,-3) a tangente é horizontal (curva “achatada” aí).
  • Segunda derivada: f''(x)=20x^{3}. Em x=0 temos f''(0)=0, e mudando de sinal (negativa para x<0 e positiva para x>0), portanto x=0 é um ponto de inflexão (a concavidade muda de côncava para convexa) e a curva passa por (0,-3) com tangente horizontal. Isso explica a forma do esboço local: a curva atravessa a horizontal em y=-3 mudando a curvatura.

Passo 8

Aproximação numérica da raiz para marcar no esboço (método por cotas simples):
  • Sabemos que 1^{5}=1<3 e 2^{5}=32>3, então 1<x<2.
  • Testes rápidos: 1{,}2^{5}=2{,}48832<3; 1{,}3^{5}=3{,}71293>3. Então 1{,}2<x<1{,}3.
  • Refinação: 1{,}25^{5}\approx3{,}0517578125>3, então a raiz está entre 1{,}20 e 1{,}25. Um cálculo por logaritmos ou multiplicações dá aproximadamente x=3^{1/5}\approx 1{,}246.
  • Para o esboço basta usar x\approx 1{,}246 como posição do cruzamento com o eixo x.

Passo 9

Como esboçar na prática (passo a passo que você pode repetir na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o ponto de intersecção com y: (0,-3).
  3. Marque a raiz em x: \bigl(3^{1/5},0\bigr)\approx(1{,}246,0).
  4. Lembre-se da forma global: vem de -\infty à esquerda e vai para +\infty à direita (graças ao grau ímpar e coeficiente positivo).
  5. No ponto (0,-3) coloque uma tangente horizontal e desenhe a curva passando por ele mudando a concavidade (côncava para x<0 e convexo para x>0).
  6. Conecte as partes com uma curva lisa, crescente, que atravessa o eixo x em x\approx1{,}246.
Dica prática: não há máximos ou mínimos locais (apenas o achatamento em x=0), então a curva sobe continuamente sem oscilações.

Resposta

Raiz real: x=3^{1/5}\approx 1{,}246
Interseção com o eixo y: (0,-3)

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