Esboce o gráfico das funções nos itens abaixo indicando, se existirem, as raízes REAIS e AS INTERSECÇÕES com o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
e indique, se existirem, as raízes REAIS e as intersecções com o eixo
.
Informações dadas: a função é . Não há outras figuras ou dados adicionais.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Entender o que pedem exatamente:
- “Raízes reais” significa resolver
, ou seja achar tal que . Essas são as interseções do gráfico com o eixo . - "Intersecção com o eixo
" significa calcular , o ponto onde a curva cruza o eixo vertical.
Passo 3
Comportamento para extremos (end behavior) — por que isso importa para o esboço:
- O termo de maior grau é
. O grau é ímpar e o coeficiente líder é positivo (1). Para polinômios isso implica: - quando
, temos ; - quando
, temos .
Isto nos diz que a curva vem de baixo à esquerda e sai para cima à direita.
- quando
Passo 4
Procurando raízes: resolver
.
- Isolando:
. - Portanto a raiz real é
.
Não há outras raízes reais porque uma equação do tipotem exatamente uma solução real (as demais seriam complexas no caso de ), e também porque a função será monotônica (veja próximo passo).
Passo 5
Mostrar que existe exatamente uma raiz real usando monotonicidade:
- Derivada:
. - Observação:
para todo , e para todo . Isso significa que é crescente em toda reta, com uma possível “achatada” em . - Como
é crescente, só pode cruzar o eixo uma vez. Logo a única raiz real é .
Passo 6
Intersecção com o eixo
:
- Basta calcular
. - Temos
. - Logo a intersecção com o eixo
é o ponto .
Passo 7
Comportamento local em
— informação útil para o desenho:
-
, então no ponto a tangente é horizontal (curva “achatada” aí). - Segunda derivada:
. Em temos , e mudando de sinal (negativa para e positiva para ), portanto é um ponto de inflexão (a concavidade muda de côncava para convexa) e a curva passa por com tangente horizontal. Isso explica a forma do esboço local: a curva atravessa a horizontal em mudando a curvatura.
Passo 8
Aproximação numérica da raiz para marcar no esboço (método por cotas simples):
- Sabemos que
e , então . - Testes rápidos:
; . Então . - Refinação:
, então a raiz está entre e . Um cálculo por logaritmos ou multiplicações dá aproximadamente - Para o esboço basta usar
como posição do cruzamento com o eixo .
Passo 9
Como esboçar na prática (passo a passo que você pode repetir na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto de intersecção com
: . - Marque a raiz em
: . - Lembre-se da forma global: vem de
à esquerda e vai para à direita (graças ao grau ímpar e coeficiente positivo). - No ponto
coloque uma tangente horizontal e desenhe a curva passando por ele mudando a concavidade (côncava para e convexo para ). - Conecte as partes com uma curva lisa, crescente, que atravessa o eixo
em .
Dica prática: não há máximos ou mínimos locais (apenas o achatamento em
), então a curva sobe continuamente sem oscilações.
Resposta
Raiz real:
Interseção com o eixo :
Interseção com o eixo