Calcule a derivada da função
f(x)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}}
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos: o numerador é x^{3} e o denominador é 1-x^{2}. Note que a função não está definida quando o denominador é zero, ou seja, em x=\pm 1 (isso influencia o domínio, mas não impede calcular a derivada formalmente para x\neq\pm1).

Passo 2

Vou escolher um método para derivar. O enunciado não exige um método específico. Aqui existem duas opções naturais: usar diretamente a regra do quociente ou reescrever f(x)=x^{3}(1-x^{2})^{-1} e aplicar a regra do produto mais a regra da cadeia. Vou usar a regra do quociente porque é direta e costuma ser a maneira mais curta para funções na forma \dfrac{u(x)}{v(x)}. Depois eu mostro rapidamente o método alternativo como verificação.

Passo 3

Apresentando a fórmula que vou usar (regra do quociente). Se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador,
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) é a derivada de u,
  • v'(x) é a derivada de v.
    Essa fórmula vem da combinação das regras de derivação (produto e inverso), e é feita para lembrar: “deriva o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”.

Passo 4

Identifico u e v e calculo as derivadas parciais:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=1-x^{2}.
Agora uso a regra do poder para cada um:
  • A derivada de u é u'(x)=3x^{2}, porque a regra do poder diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • A derivada de v é v'(x)=-2x, porque a derivada de 1 é 0 e a de -x^{2} é -2x.

Passo 5

Aplico a regra do quociente substituindo u, v, u' e v' na fórmula:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{3x^{2}(1-x^{2})-x^{3}(-2x)}{(1-x^{2})^{2}}.

Passo 6

Faço a álgebra do numerador passo a passo:
3x^{2}(1-x^{2})-x^{3}(-2x)=3x^{2}-3x^{4}+2x^{4}.
Aqui eu multipliquei termo a termo: 3x^{2}\cdot1=3x^{2}, 3x^{2}\cdot(-x^{2})=-3x^{4}, e -x^{3}\cdot(-2x)=+2x^{4}. Agora somando os termos semelhantes -3x^{4}+2x^{4}=-x^{4}, resulta
3x^{2}-x^{4}.
Posso fatorar um x^{2} para simplificar a forma final:
3x^{2}-x^{4}=x^{2}(3-x^{2}).
Portanto a derivada fica
f'(x)=\frac{x^{2}(3-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}},
válida para x\neq\pm1.

Passo 7

Verificação rápida pelo método alternativo (produto + cadeia), só para você ver outra forma: escrevo f(x)=x^{3}(1-x^{2})^{-1}. Aplicando a regra do produto,
f'(x)=3x^{2}(1-x^{2})^{-1}+x^{3}\cdot(-1)(1-x^{2})^{-2}\cdot(-2x).
Simplificando o segundo termo: -1\cdot(-2x)=2x, então o segundo termo é x^{3}\cdot 2x\,(1-x^{2})^{-2}=2x^{4}(1-x^{2})^{-2}. Passando ao mesmo denominador (1-x^{2})^{2} e combinando termos chegamos de novo em \dfrac{x^{2}(3-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}. Resultado consistente.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}(3-x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}

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