Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos: o numerador é e o denominador é
. Note que a função não está definida quando o denominador é zero, ou seja, em
(isso influencia o domínio, mas não impede calcular a derivada formalmente para
).
Informações relevantes que temos: o numerador é
Passo 2
Vou escolher um método para derivar. O enunciado não exige um método específico. Aqui existem duas opções naturais: usar diretamente a regra do quociente ou reescrever
e aplicar a regra do produto mais a regra da cadeia. Vou usar a regra do quociente porque é direta e costuma ser a maneira mais curta para funções na forma
. Depois eu mostro rapidamente o método alternativo como verificação.
Passo 3
Apresentando a fórmula que vou usar (regra do quociente). Se tivermos duas funções
e
com
, a derivada de
é
Aqui:
-
é o numerador, -
é o denominador, -
é a derivada de , -
é a derivada de .
Essa fórmula vem da combinação das regras de derivação (produto e inverso), e é feita para lembrar: “deriva o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado”.
Passo 4
Identifico
e
e calculo as derivadas parciais:
Agora uso a regra do poder para cada um:
- A derivada de
é , porque a regra do poder diz que . - A derivada de
é , porque a derivada de é e a de é .
Passo 5
Aplico a regra do quociente substituindo
,
,
e
na fórmula:
Passo 6
Faço a álgebra do numerador passo a passo:
Aqui eu multipliquei termo a termo:
,
, e
. Agora somando os termos semelhantes
, resulta
Posso fatorar um
para simplificar a forma final:
Portanto a derivada fica
válida para
.
Passo 7
Verificação rápida pelo método alternativo (produto + cadeia), só para você ver outra forma: escrevo
. Aplicando a regra do produto,
Simplificando o segundo termo:
, então o segundo termo é
. Passando ao mesmo denominador
e combinando termos chegamos de novo em
. Resultado consistente.