Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de
, constituindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base igual ao dobro da altura. Quão rápido a altura da pilha cresce quando está a 4 m de altura?
(2,5 pts)
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Passo 1
O enunciado dá uma esteira que está despejando cascalho formando uma pilha em forma de cone. Pergunta: quão rápido a altura da pilha está aumentando quando a altura vale
?\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A razão de variação do volume é
. - A pilha tem forma de cone.
- O diâmetro da base é igual ao dobro da altura; isto é, se
é a altura então o diâmetro satisfaz . - Queremos
quando .
Passo 2
Vamos escrever a fórmula do volume de um cone e explicar cada símbolo. A fórmula é
onde:
-
é o volume do cone (em ), -
é o raio da base (em ), -
é a altura do cone (em ), -
é a constante geométrica aproximada .\n
Aqui, e variam com o tempo , então pensamos em , , . Queremos relacionar as taxas e .
Passo 3
Usamos a relação geométrica entre raio e altura que vem do enunciado. Como o diâmetro é o dobro da altura:
Mas
, então
Portanto, para esta pilha em particular, o raio é igual à altura:
. Dito de outra forma, a forma do cone se mantém com
sempre igual a
.
Passo 4
Substituímos
na fórmula do volume para eliminar
e ficar só com
:
Agora
está expressa como função de
apenas:
.
Passo 5
Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
é função de
e
é função de
, então
.\n
Calculando para
:
Calculando
Portanto, diferenciando em relação a
:
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
; o fator
cancela o
.
Passo 6
Isolamos
da expressão anterior:
Agora substituímos os valores conhecidos:
e
. Assim
Para ter uma noção numérica, aproximando
:
Passo 7
Interpretação rápida: o sinal positivo indica que a altura está aumentando (fazia sentido, pois o volume entrou a
). Em termos práticos, quando a pilha tem
de altura ela aumenta cerca de
por minuto, ou seja, pouco mais de
por minuto.