Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, constituindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base igual ao dobro da altura. Quão rápido a altura da pilha cresce quando está a 4 m de altura?
(2,5 pts)

Passo 1

O enunciado dá uma esteira que está despejando cascalho formando uma pilha em forma de cone. Pergunta: quão rápido a altura da pilha está aumentando quando a altura vale 4\\ \text{m}?\n
Informações fornecidas:
  • A razão de variação do volume é \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}.
  • A pilha tem forma de cone.
  • O diâmetro da base é igual ao dobro da altura; isto é, se h é a altura então o diâmetro d satisfaz d=2h.
  • Queremos \dfrac{dh}{dt} quando h=4\\ \text{m}.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula do volume de um cone e explicar cada símbolo. A fórmula é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde:
  • V é o volume do cone (em \mathrm{m}^{3}),
  • r é o raio da base (em \mathrm{m}),
  • h é a altura do cone (em \mathrm{m}),
  • \pi é a constante geométrica aproximada 3{,}14159\ldots.\n
    Aqui V, r e h variam com o tempo t, então pensamos em V(t), r(t), h(t). Queremos relacionar as taxas \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}.

Passo 3

Usamos a relação geométrica entre raio e altura que vem do enunciado. Como o diâmetro é o dobro da altura:
d=2h.
Mas r=d/2, então
r=\frac{d}{2}=\frac{2h}{2}=h.
Portanto, para esta pilha em particular, o raio é igual à altura: r=h. Dito de outra forma, a forma do cone se mantém com r sempre igual a h.

Passo 4

Substituímos r=h na fórmula do volume para eliminar r e ficar só com h:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^{3}.
Agora V está expressa como função de h apenas: V(h)=\dfrac{1}{3}\pi h^{3}.

Passo 5

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t. Aqui usamos a regra da cadeia: se V é função de h e h é função de t, então \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\cdot\dfrac{dh}{dt}.\n
Calculando \dfrac{dV}{dh} para V=\dfrac{1}{3}\pi h^{3}:
\frac{dV}{dh}=\frac{1}{3}\pi\cdot 3h^{2}=\pi h^{2}.
Portanto, diferenciando em relação a t:
\frac{dV}{dt}=\pi h^{2}\frac{dh}{dt}.
Expliquei: a derivada de h^{3} em relação a h é 3h^{2}; o fator \dfrac{1}{3} cancela o 3.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dh}{dt} da expressão anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi h^{2}}\frac{dV}{dt}.
Agora substituímos os valores conhecidos: \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min} e h=4\\ \mathrm{m}. Assim
\frac{dh}{dt}=\frac{3}{\pi\cdot 4^{2}}=\frac{3}{\pi\cdot 16}=\frac{3}{16\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.
Para ter uma noção numérica, aproximando \pi\approx 3{,}14159:
\frac{3}{16\pi}\approx 0{,}0597\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.

Passo 7

Interpretação rápida: o sinal positivo indica que a altura está aumentando (fazia sentido, pois o volume entrou a 3\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}). Em termos práticos, quando a pilha tem 4\\ \text{m} de altura ela aumenta cerca de 0{,}0597\\ \mathrm{m} por minuto, ou seja, pouco mais de 5{,}97\\ \text{cm} por minuto.

Resposta

\dfrac{3}{16\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\approx 0{,}0597\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}

Exercícios relacionados