Encontre o limite usando, se possível, a regra de L’Hospital. Caso não seja possível, explique:
lim x infty e^x-1x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftye^x-1x
usando a regra de L’Hospital quando for possível. O conteúdo é limites de função e, em particular, a aplicação da regra de L’Hospital para formas indeterminadas do tipo tfracinftyinfty.

Passo 2

Verificamos o comportamento das partes quando xtoinfty:
– O numerador e^x-1 tende a infty.
– O denominador x também tende a infty.
Portanto temos uma indeterminação do tipo tfracinftyinfty, o que permite usar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que, sob certas condições de derivabilidade e existência dos limites,
limxtoinftyf(x)g(x) =limxtoinftyf'(x)g'(x)
quando lim f(x)=lim g(x)=infty (ou ambos zero). Aqui f(x)=e^x-1 e g(x)=x.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
f'(x)=ddx(e^x-1)=e^x, g'(x)=ddx(x)=1
Logo, pela regra de L’Hospital,
limxtoinftye^x-1x =limxtoinftye^x1 =limxtoinftye^x

Passo 5

Sabemos que e^x cresce sem limite quando xtoinfty, isto é,
limxtoinftye^x=infty
Portanto o limite original também diverge para infty.

Resposta

infty

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